> Aufgabe

In der VO wurde behauptet, dass eine Dezimalzahl z genau dann eine rationale Zahl ist,
wenn z eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung hat.

Beweisen Sie diese Behauptung für positive Dezimalzahlen. 

> Problem: 

Servus!

ich habe wieder eine Aufgabe in Mathe (wie üblich) zu erledigen, welches mir wieder mal etwas Kopfschmerzen bereitet... ;-)

Nun ich weiß, dass die Aussage auf jeden Fall stimmt, dass eine Zahl z nur dann als rationale Zahl gilt, wenn diese eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung hat. 

Mit ein bisschen Recherche habe ich auch mehr Informationen herausbekommen und zwar, dass eine rationale Zahl, dass Verhätlnis zwischen zwei ganzen Zahlen ist und es nur dann möglich ist, wenn diese auch teilerfremd sind. 

Kann mir hier vielleicht jemand helfen und sagen, ob dies auch ein ordentlicher Beweis ist? 

>Ansatz:

Voraussetzung: 

Es werden nur Zahlen z ∈ Q  betrachtet und z >= 0.

Und x ∈ Z betrachtet und x >= 0.

Behauptung: 

Eine Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn diese

eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung hat. 

z ∈ Q ⇒  z eine endliche  ∨  z eine periodische Dezimaldarstellung hat


Direkter Beweis: 

(i) periodische Darstellung

Wir nehmen an z = 1,666... (periodisch Darstellung)    

Nun schauen wir, ob z sich durch das Verhältnis zwischen zwei ganze Zahlen darstellen lässt indem wir z in ein Bruch umwandeln:

1 + 6/9 = 1 * ( 9 / 9) + (6 / 9) = (1 * 9 + 6) / 9 = 15 / 9 = 5 / 3 ✓

z lässt sich in diesem Fall durch zwei ganze Zahlen darstellen, das heißt  x1 = 5  ∧  x2 = 3. 

5 und 3 sind teilerfremd ✓

5 und 3 sind ganze Zahlen ✓

Das Verhätnis zwischen 5 und 3 ergibt eine periodische Darstellung ✓

==> somit ist hier z ∈ Q

(ii) endliche Darstellung

Wir nehmen an z = 3.5 (endliche Darstellung)    

Nun schauen wir, ob z sich durch das Verhältnis zwischen zwei ganze Zahlen darstellen lässt indem wir z in ein Bruch umwandeln:


3 + 5/10 = 3 + (1 / 2) =  3 * (2 /2) + (1 / 2)  = (3 * 2 + 1) / 2 = 7 / 2  ✓

z lässt sich in diesem Fall durch zwei ganze Zahlen darstellen, das heißt x1 = 7  ∧  x2 = 2.

7 und 2 sind teilerfremd ✓

7 und 2 sind ganze Zahlen ✓

Das Verhätnis zwischen 7 und 2 ergibt eine endliche Darstellung ✓

==> somit ist hier z ∈ Q


(iii) unendliche Darstellung

Wir nehmen an z = √2

Nun schauen wir, ob z sich durch das Verhältnis zwischen zwei ganze Zahlen darstellen lässt indem wir z in ein Bruch umwandeln:

√2 = x1 / x2         | ^2

2 = x1^2 / x2^2   | * x2^2

2 * x2^2 = x1^2

Wenn ich hier also das doppelte von x2 nehmen, dann muss in diesem Fall

das x1^2 eine gerade Zahl sein d.h. dann auch, dass x1 eine gerade Zahl 

sein muss, denn nur gerade Zahlen quadriert ergeben wieder eine gerade Zahl. 

Und wenn x1 eine gerade Zahl ist, dann ist diese ja durch 2 teilbar.

Und so muss dann auch x1^2 durch 4 teilbar sein.

Das heißt dann auch, dass 2 * x2^2 in dem Fall auch durch 4 teilbar sein muss 

und somit muss x2^2 ebenfalls durch 2 teilbar sein somit muss x2 definitiv eine 

gerade Zahl sein. 

Und wenn x1 und x2 also in dem Fall beide gerade Zahlen sind, dann sind beide 

somit durch 2 teilbar und sind daher NICHT teilerfremd, wie die Voraussetzung 

von rationalen Zahlen war. Somit haben wir einen Widerspruch und unendliche 

Dezimaldarstellungen sind kein Element von rationalen Zahlen.

==> somit ist hier √2 ∉  Q

Daraus können wir folgern, dass das Element z ∈ Q nur dann gilt, wenn sich diese durch zwei ganze Zahlen darstellen lässt und dessen 

Dezimdarstellung endlich oder periodisch ist. □