Zeilenrang einer Matrix A gleich dem Rang von A

Aufrufe: 57     Aktiv: 16.07.2021 um 08:00

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Ich stecke bei einer Aufgabe fest ,,Sei $K$ ein Körper und $A\in M_{mxn}(K)$ eine Matrix. Zeigen Sie, dass der Zeilenrang von A gleich dem Rang von A ist."

Wie kann ich die behauptung beweisen?

Vielen Dank!
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Wähle \(A \in M_{m \times n}(K)\) mit Zeilenvektoren \(v_i := (a_{i,1},\ldots,a_{i,n})\), wobei \(i \in \{1,\ldots, m\}\). Ist nun von \(A\) der Zeilenrang \(r\), so gibt es \(r\) Vektoren aus \(v_1, \ldots, v_m\) die eine Basis bilden. Bezeichne diese Vektoren nun als \(\tilde{v}_k\) mit \(k \in \{1, \ldots, r\}\). Dann lässt sich jedes \(v_i\) als Linearkombination von den Vektoren \(\tilde{v}_1, \ldots, \tilde{v}_r\) darstellen. Auch lässt sich so jeder Eintrag von \(A\) als Multiplikation mit dem entsprechendem Eintrag des Basisvektors darstellen, sodass die Spaltenvektoren Linearkombinationen aus \(r\) Vektoren sind, hieraus folgt dann, dass der Spaltenrang kleiner oder gleich \(r\) sein muss. Die Gleichheit folgt dann unmittelbar durch selbes Vorgehen mit der transponierten Matrix/durch Fixierung der Spaltenvektoren.
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