Konvergenzen (Stochastik)

Aufrufe: 272     Aktiv: 24.07.2020 um 19:24

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Hallo meine Freunde,

ich beschäftige mich seit einigen Tagen mit den Konvergenzen in der Stochastik (fast-sicher, stochastisch, in Verteilung). Die Definitionen sind mehr oder weniger klar. Aber ich kann mir das nicht wirklich vorstellen. Wir haben dann Sachen gelernt wie P.f.s konvergiert Punktweise aber die anderen nicht, in Verteilung konvergiert wie es bereits sagt, die Verteilungen. aber was bedeutet das? Es wird doch immer von Zufallsvariablen gesprochen. Es sind doch immer "funktionen" bei denen etwas passiert. in der P.-f.s. Konvergenz nähern sich doch die X_n deiner X ZV. Das kann man sich ja vorstellen, wie sieht dann die stochastische (abstand) und die in Verteilung aus?

 

LG Theo

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Also nehmen wir mal an die Zufallsvariablen \(X_n\) konvergieren gegen die Zufallsvariable \(X\) für \(n\to\infty\) auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). 

1. fast sichere Konvergenz: Für fast alle \(\omega\in\Omega\) gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)\). Also die Menge aller \(\omega\) für die das konvergiert hat Wahrscheinlichkeit 1.

2. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit: Es gilt nur, dass die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon\)) für alle \(\epsilon>0\) gegen 0 konvergiert. Falls das erfüllt müssen die Zufallsvariablen aber nicht unbedingt auch fast sicher konvergieren. Es kann also durchaus noch einige \(\omega\in\Omega\) geben, für die die Zufallsvariablen selbst nicht konvergieren.

3. Konvergenz in Verteilung: Das bedeutet einfach nur, dass die Verteilung der Zufallsvariablen \(X_n\) gegen die Verteilung von \(X\) konvergieren. Beispielsweise kann man eine binomialverteilte Zufallsvariable für große n ja durch eine Normalverteilung approximieren. Das heißt aber nicht, dass es tatsächlich eine Zufallsvariable \(X\) gibt die diese Verteilung besitzt und \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)\) fast sicher gilt. Lediglich die Verteilungen von den beiden sind identisch, aber nicht die Zufallsvariablen selber. Es würde also insbesondere für jede Menge \(B\) gelten \(\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(X_n\in B)=\mathbb{P}(X\in B)\). Das schöne an dieser Konvergenzart ist, dass sie direkt aus den beiden anderen folgt.

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zu 1: klar.
zu 2: dh also, wenn ich es richtig verstehe, sind mit nicht konvergent die omega gemeint, die außerhalb der epsilon breite liegen?
zu 3: darüber mach ich mir jetzt noch mal kurz gedanken.

danke dir.
  ─   labis.theodoros 24.07.2020 um 19:24

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