Also nehmen wir mal an die Zufallsvariablen \(X_n\) konvergieren gegen die Zufallsvariable \(X\) für \(n\to\infty\) auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). 

1. fast sichere Konvergenz: Für fast alle \(\omega\in\Omega\) gilt \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)\). Also die Menge aller \(\omega\) für die das konvergiert hat Wahrscheinlichkeit 1.

2. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit: Es gilt nur, dass die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon\)) für alle \(\epsilon>0\) gegen 0 konvergiert. Falls das erfüllt müssen die Zufallsvariablen aber nicht unbedingt auch fast sicher konvergieren. Es kann also durchaus noch einige \(\omega\in\Omega\) geben, für die die Zufallsvariablen selbst nicht konvergieren.

3. Konvergenz in Verteilung: Das bedeutet einfach nur, dass die Verteilung der Zufallsvariablen \(X_n\) gegen die Verteilung von \(X\) konvergieren. Beispielsweise kann man eine binomialverteilte Zufallsvariable für große n ja durch eine Normalverteilung approximieren. Das heißt aber nicht, dass es tatsächlich eine Zufallsvariable \(X\) gibt die diese Verteilung besitzt und \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)\) fast sicher gilt. Lediglich die Verteilungen von den beiden sind identisch, aber nicht die Zufallsvariablen selber. Es würde also insbesondere für jede Menge \(B\) gelten \(\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(X_n\in B)=\mathbb{P}(X\in B)\). Das schöne an dieser Konvergenzart ist, dass sie direkt aus den beiden anderen folgt.