Beweis das es sich um eine irrationale Zahl handelt

Erste Frage Aufrufe: 65     Aktiv: 03.11.2021 um 15:40

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Man zeige, dass die Dezimalzahl 0, 1! 2! 3!... (also nach dem Komma die Aneinanderreihung der Ziffern der Fakultäten, d.h. 0, 1 2 6 24 120...) irrational ist. (Hinweis: Eine rationale Zahl hat entweder eine abbrechende oder eine periodische Dezimaldarstellung.)
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2 Antworten
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Dass die Zahl nicht abbricht, dürfte wohl klar sein. Um zu zeigen, dass sie auch nicht periodisch sein kann, kannst du folgende Überlegung anstellen: Wenn die Zahl periodisch wäre, dann ist die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen begrenzt. Es gibt also ein festes n, sodass in der Dezimaldarstellung nie mehr als n Nullen aufeinander folgen. Kannst du daraus einen Widerspruch herleiten?
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Student, Punkte: 6.68K

 

Danke für deine Antwort. Ich habe mittlerweile eine ähnliche Lösung gefunden.
  ─   user73914c 03.11.2021 um 15:40

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Diese Zahl ist per Definition nicht abbrechend, weil sie per Definition unendlich fortgesetzt werden muss.
Jedes Hinzufügen neuer Ziffern ergänzt eine neue Ziffernfolge, die es vorher noch nicht gab. Also kann die Zahl auch nicht periodisch werden.
==> Die so gebildete Zahl ist irrational.
qed.
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Dass es die Ziffernfolge noch nicht gab und sie sich nicht wiederholen, also dass es keine Periode gibt, muss aber gezeigt werden.   ─   cauchy 03.11.2021 um 12:37

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