Zu jedem x∈R existiert genau ein n∈Z mit n≤x<n+1.

Aufrufe: 211     Aktiv: 26.10.2021 um 23:47

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kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen?
zu jedem x aus R existiert genau ein n aus Z mit n≤x<n+1 

ich glaube ich muss erstmal beweisen, dass die Existenz von n eindeutig ist und dann einen indirekten beweis durchführen mit n<=x negation x<n dann ist x eine untere Schranke und n ist nicht nach oben beschränkt aber sicher bin ich mir auch nicht
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Hallo,

das klingt doch schon mal gut. 

Zuerst Eindeutigkeit: Nimm doch mal ein $n$ und ein $m$ und geh davon aus, dass beide diese Ungleichungskette erfüllen. Wie könntest du diese beiden Ungleichungsketten miteinander verrechnen um zu zeigen, dass es nur eine natürliche Zahl geben kann?

Für den Beweis gibt es einen Satz den ihr bestimmt kurz vorher betrachtet habt, der sehr hilfreich ist. Wenn nicht, dann musst du wie du sagst zuerst zeigen, dass die natürlichen Zahlen nicht beschränkt sind. 

Dann überlege dir doch mal, wie dieses $n$ aussehen muss, damit es die Ungleichung erfüllt. Für $x=2{,}5$ ist ja nicht $n=1$. Wieso?

Grüße Christian
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für x= 2,5 kann n nicht 1 sein weil n+1= 2 ist und dass kleiner als x ist....

meinst du das am Anfang so:?

n<= xm<=x
n+m<=x<=m+n+2?
  ─   anonymf76f7 25.10.2021 um 21:42

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Genau es muss also die nächst kleinere natürliche Zahl sein.
Aber zuerst noch zu dem Satz den ich meinte. Habt ihr das archimedische Axiom mal besprochen?

Ah ich habe hier selbst einen kleinen Denkfehler gehabt. Betrachten wir eine kleine Abwandlung
$n \leq x < n+1$ und $m \leq x < m+1$. Dann multiplizieren wir die linke Ungleichung mit $-1$ und erhalten $-m \geq -x > -m-1$
Was passiert, wenn du die Ungleichungen nun addierst?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 21:53

dann hat man n-m?   ─   anonymf76f7 25.10.2021 um 22:03

also n-m<=n-m oder n-m>=n-m   ─   anonymf76f7 25.10.2021 um 22:05

Wir haben ja hier 3 Terme die durch die Ungleichung in Relation gebracht werden. Das haben wir auch nach der Addition $$n-m-1 < 0 < n+1-m $$
Das können wir jetzt etwas umformen. Dann kommst du zu einem Schluss, dass $m=n$ sein muss.
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 23:50

Super danke!!! Und wenn ich diese Gleichung dafür beweisen will dass es kein x aus Z gibt wie geht man dann vor?   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 07:40

Wie meinst du das, dass es kein $x$ aus $\mathbb Z$ gibt?   ─   christian_strack 26.10.2021 um 09:52

wie genau kann ich die Ungleichung jetzt umformen? irgendwie habe ich Glaube ich einen schritt falsch, weil ich nicht auf n=m komme   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 16:09

und ich meine, wie der Beweis lauten würde, wenn die aussage lautet, dass wenn n element in Z, so gibt es kein m element in Z mit n   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 16:10

Es ist ja
$$ (n-m) -1 < 0 < (n-m)+1 $$
jetzt ziehen wir $n-m$ überall ab und erhalten
$$ -1 < n-m < 1 $$
Warum folgt hieraus, dass $m=n$ sein muss?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 16:11

Achso ja das machen wir formal, indem wir zeigen, dass wenn wir 2 wählen, diese automatisch gleich sind.   ─   christian_strack 26.10.2021 um 16:12

weiss ich irgendwie nicht genau... gibt es für sowas einen Trick?   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 17:54

Bedenke mal, dass $m$ und $n$ ganzzahlig sind. Was ist die Differenz von zwei ganzen Zahlen?   ─   christian_strack 26.10.2021 um 18:27

die differenz ist 1   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 18:42

Nicht immer. Die Differenz von 5 und 3 ist beispielsweise 2. Aber was für eine Art von Zahl ist es? Denk an die Zahlenmengen die es gibt.   ─   christian_strack 26.10.2021 um 18:57

achsooo das ist auch eine natürliche zahl   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 18:57

oder eben ganze zahl   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 18:58

Yes die Differenz zweier ganzer Zahlen ist immer selbst wieder eine ganze Zahl.
Welche ganzen Zahlen gibt es denn, die echt größer als -1 sind aber echt kleiner als 1?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 19:00

eine also die 0   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 19:01

Yes und aus $m-n=0$ folgt dann $m=n$. Und damit haben wir die Eindeutigkeit gezeigt :)   ─   christian_strack 26.10.2021 um 19:05

wie toll danke!! und für den anderen fall wie geht man da nochmal vor?   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 19:08

Sehr gerne :)
Welchen anderen Fall meinst du genau? Also wir haben jetzt die Eindeutigkeit gezeigt.
Nun müssen wir natürlich noch zeigen, dass das überhaupt gilt. Meinst du das?
Hast du mal von Archimedischen Axiom gehört?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 19:45

Achso ja also das 0<1/n< Epsilon?   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 20:02

ich habs geschafft aber vielen vielen dank!!! du erklärst es super gut   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 20:35

Das ist eine Folgerung aus dem Axiom. Das Axiom sagt, dass für $x>y>0$ es ein $n \in \mathbb N$ gibt, sodass $n \cdot y > x$.
Wir nutzen das Axiom dafür, um zu zeigen, dass es ein $n_1 > x$ für alle $x \in \mathbb R$ gibt und ein $-n_2 < x$ für alle $x \in \mathbb R$.
Das geht eigentlich direkt daraus hervor. Ist dir das klar?
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 20:39

Ah ok perfekt. Umso besser. :)
Sehr sehr gerne. Freut mich das ich helfen konnte.
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 20:40

also ich habe das jetzt mit einem indirekten beweis gemacht... ich habe angenommen, dass es kein n<=x existiere daraus folgt n>x somit muss x eine untere schranke sein aber da Z nicht beschränkt ist entsteht ein Widerspruch zu annahme. ist das auch in Ordnung?   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 20:44

Ja das ist auch schon mal sehr gut. Aber du bist noch nicht fertig.
Wir sind jetzt da, dass wir wissen, dass es zu jedem $x \in \mathbb R$ ein $n \in \mathbb Z$ gibt, mit $n \leq x$.
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass es so ein $n$ gibt, dass $n+1$ größer ist als $x$.
Da kommt jetzt ein ganz kleines bisschen der nicht ganz zielführende Hinweis von gerdware ins Spiel.
Wir betrachten alle $n$ die kleiner sind als $x$ (das ist die von gerdware beschriebene Menge). Diese Menge ist beschränkt. Wir wählen also das größte dieser $n$.
Nun machen wie wieder einen Widerspruchsbeweis.
Wir nehmen an, dass $n+1 < x$ ist...
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 21:00

ja ich habe das so ähnlich gemacht, wie bei n<=x also ich habe angenommen, es existiere kein x=n+1 somit muss x eine obere schranke sein aber das ist ja dann auch wieder ein Widerspruch   ─   anonymf76f7 26.10.2021 um 21:43

Ja das Problem ist, dass bei $n$ und $n+1$ das selbe $n$ gemeint ist. Diese Verbindung muss noch hergestellt werden.
Also wir machen folgendes:
Wir nehmen ein $n \leq x$. Wenn dann $n+1 \leq x$ ist, dann nehmen wir dieses $n+1$ als unser neues $n$. Das machen wir so lange, bis $n+1$ nicht mehr kleiner gleich $x$ ist. Da die natürlichen Zahlen genau so aufgebaut sind, das jede Zahl einen Nachfolger hat, können wir das auch machen, bis wir ein $n$ finden, sodass $n \leq x < n+1$.
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 23:47

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