Ich glaube, Du verstehst die Definition von \(f\) falsch herum. Sie soll nicht bedeuten: \(f\) ist "ein bestimmter Ausdruck, aber \((x_1,x_2)\) darf nicht \((0,0)\) sein" (diese Interpretation entnehme ich Deinem Text). Sondern andersrum: Wenn \((x_1,x_2)\neq(0,0)\) ist, dann nehmen wir den oberen Ausdruck, um \(f(x_1,x_2)\) zu bestimmen, und wenn \((x_1,x_2)=(0,0)\) ist, dann nehmen wir den unteren Ausdruck, um \(f(x_1,x_2)\) zu bestimmen, nämlich \(0\). Auf diese Art und Weise definieren wir eine Funktion auf der Menge \(\mathbb{R}^2\), aber die Ausdrücke, mit denen man die Werte von \(f\) in den Punkten von \(\mathbb{R}^2\) berechnet, sind für die Teilmengen \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) und \(\{(0,0)\}\) unterschiedlich.

Am Schluss steht nur der Wert von \(\frac{\partial}{\partial x_1}f\) in \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), erst allgemein, und dann auf den Koordinatenachsen (hier wurde im Ausdruck für \(\frac{\partial}{\partial x_1}f\) einmal \(x_1=0\) und einmal \(x_2=0\) gesetzt).  Mit dem Satz von Schwarz hat das nichts zu tun; dieser sagt nur etwas über die partiellen Ableitungen in VERSCHIEDENEN Richtungen aus. Hier wird ja nur in Richtung von \(x_1\) abgeleitet.