Gleichungssystem lösen (Lagrange-Multiplikator)

Aufrufe: 96     Aktiv: 02.11.2022 um 17:48

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Hallo,
wie zu sehen ist, erhalte ich drei Gleichungen, die ich nun lösen muss. Allerdings fällt es mir schwer das Gleichunggsystem zu lösen bzw. alle möglichen Lösungen zu berechnen. Wie am Bild rechts zu sehen ist, erhalte ich durch zusammenrechen von der ersten und der dritten Gleichung den Fall, dass x=0 und y=0 sein kann. Allerdings führt das später unter Einbeziehung  der dritten Gleichung zum Wiederspruch. Gibt es hier eine effektivere Methode wie ich schnell an die Lösungen kommen kann und gleichzeitig sicher sein kann, dass ich alle Lösungen auch habe.
Vielen Dank für die Hilfe.
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Ergänzung zu cauchys Antwort:
Achte bei der Angabe der Lösungsmenge auf korrekte Notation. Weglassen von Zeichen und Verwenden falscher Klammern bringt nichts, außer u.U. Punktabzug in der Klausur.

Eine Rechenmethode ohne weitere Tricks (von der ich erst über eine Frage hier erfahren habe) ist die Determinantenmethode, siehe video von mathepeter:
https://www.youtube.com/watch?v=p6_TRegg6Uw

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Man multipliziert in der Regel auch keine Gleichungen mit Unbekannten, weil man dann automatisch die Annahme treffen muss, dass diese Unbekannte ungleich 0 ist. Eine Multiplikation mit 0 ist nämlich keine Äquivalenzumformung. Da du einmal mit $x$ und einmal mit $y$ multipliziert hast, folgt daraus sofort, dass $x\neq 0$ und $y\neq 0$ erfüllt sein muss. Der Fall $x=y=0$ folgt also dann nicht mehr deinen Umformungen, so dass man dies auch gar nicht erst zum Widerspruch mit der dritten Gleichung führen muss. 

Tipp bei der Lösung solcher Gleichungssysteme: Versuche immer zu Faktorisieren. Daraus ergibt sich dann auch häufig schon, welche Lösungen es alle gibt.
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