Ergänzung zu cauchys Antwort:
Achte bei der Angabe der Lösungsmenge auf korrekte Notation. Weglassen von Zeichen und Verwenden falscher Klammern bringt nichts, außer u.U. Punktabzug in der Klausur.

Eine Rechenmethode ohne weitere Tricks (von der ich erst über eine Frage hier erfahren habe) ist die Determinantenmethode, siehe video von mathepeter:
https://www.youtube.com/watch?v=p6_TRegg6Uw

Man multipliziert in der Regel auch keine Gleichungen mit Unbekannten, weil man dann automatisch die Annahme treffen muss, dass diese Unbekannte ungleich 0 ist. Eine Multiplikation mit 0 ist nämlich keine Äquivalenzumformung. Da du einmal mit $x$ und einmal mit $y$ multipliziert hast, folgt daraus sofort, dass $x\neq 0$ und $y\neq 0$ erfüllt sein muss. Der Fall $x=y=0$ folgt also dann nicht mehr deinen Umformungen, so dass man dies auch gar nicht erst zum Widerspruch mit der dritten Gleichung führen muss. 

Tipp bei der Lösung solcher Gleichungssysteme: Versuche immer zu Faktorisieren. Daraus ergibt sich dann auch häufig schon, welche Lösungen es alle gibt.