Hallo!

Allgemein gilt, dass

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\). Gilt jedoch, dass \(\displaystyle \vert x\vert < 1\) und \(\displaystyle n\to\infty\), so folgert man

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\). In Deinem Fall sind beide Bedigungen erfüllt, erhälst also

\(\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k\), denn

\(\displaystyle \left\vert \frac{1}{2}\right\vert < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 < 2\).

Gruß.