Beispiel Assoziativgesetz.

Du musst nachprüfen, dass `((g_1,h_1) circ_(GH) (g_2,h_2)) circ_(GH) (g_3,h_3) = (g_1,h_1) circ_(GH) ((g_2,h_2) circ_(GH) (g_3,h_3))` ist.

Dafür benutzt du die Definition und die Assoziativität von `G` und `H`:

`((g_1,h_1) circ_(GH) (g_2,h_2)) circ_(GH) (g_3,h_3)`
` = (g_1 circ_G g_2, h_1 circ_H h_2) circ_(GH) (g_3,h_3)` nach Definition
`= ((g_1 circ_G g_2) circ_G g_3, (h_1 circ_H h_2) circ_H h_3)` nach Definition
`= (g_1 circ_G (g_2 circ_G g_3), h_1 circ_H (h_2 circ_H h_3))` Assoziativität von G und H
`= (g_1, h_1) circ_(GH) (g_2 circ_G g_3, h_2 circ_H h_3)` nach Definition
`= (g_1,h_1) circ_(GH) ((g_2,h_2) circ_(GH) (g_3,h_3))` nach Definition.

Also gilt die Assoziativität.

Für neutrales und inverses Element musst du dir zunächst überlegen, was die in `G times H` sein könnten.

Zu a): Ich glaube, da musst du einfach alle Axiome nachrechnen. Du musst einfach in jeder der beiden Komponenten die Gruppeneigenschaften benutzen. Ist nur Fleißarbeit.