Stochastische Unabhängigkeit

Erste Frage Aufrufe: 86     Aktiv: 25.07.2021 um 16:26

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Aufgabenstellung: 
Ein Laplace-Spielwürfel wird zweimal geworfen. Untersuchen Sie jeweils, ob die beiden angegebenen Ereignisse voneinander unabhängig sind.
a) E1: "Der erste Wurf ergibt eine gerade Augenzahl"
E2: "Der Summenwert der beiden Augenzahlen ist eine gerade Zahl"

b) E1 (siehe oben)
E3: "Der Produktwert der beiden Augenzahlen ist eine gerade Zahl"

Ich habe keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. Würde mich über eine Antwort freuen.
gefragt

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2 Antworten
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Damit zwei Ereignisse voneinander stochastisch unabhängig sind, muss die folgende Gleichung stimmen.
$$
P(E_1\cap E_2) = P(E_1)\cdot P(E_2).
$$
Wenn sie nicht erfüllt ist, dann sind $E_1$ und $E_2$ stochastisch abhängig. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis $E_2$ abhängig davon ist, wie Ereignis $E_1$ ausgegangen ist.

Um das anschaulich zu verstehen, ist das Beispiel mit dem Produkt ganz gut:
Wenn die erste gewürfelte Zahl gerade ist, dann ist es völlig egal, was beim zweiten Mal gewürfelt wird, damit das Produkt gerade ist.
Wenn die erste gewürfelte Zahl ungerade ist, dann muss die zweite gerade sein - und hier gibt es natürlich auch die Möglichkeit, dass $E_3$ nicht eintritt.
Hier gibt es also für das zweite Ereignis unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, je nachdem was beim ersten Wurf herauskam.

Stochastisch unabhängig bedeutet, dass es für das zweite Ereignis gleiche Wahrscheinlichkeiten gibt - egal wie das erste war.


Du kannst also so vorgehen, dass Du die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten bestimmst (am anschaulichsten geht das durch Abzählen der günstigen Ergebnissen von allen 36 möglichen Würfelergebnissen) und die Gleichung überprüfst.
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Alles klar, also ist Aufgabe a) stochastisch unabhängig und Aufgabe b) stochastisch abhängig. Vielen Dank!   ─   user1d0e40 25.07.2021 um 16:26

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-1
\(P(E_1)=\frac{1}{2};P(E_2)=\frac{18}{27}=\frac{2}{3};\)
\(P(E_1\cap E_2)=\frac{1}{2}\), denn alle Augenpaare mit einem 1. geraden Ergebnis sind auch gerade
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.17K

 

Das verstehe ich nicht. Wie kommen Sie auf P(E2)=2/3? Ich habe für P(E2) (1/2 * 1/2) + (1/2 * 1/2) = 1/2 gerechnet. Denn, wenn die erste Zahl gerade ist, muss die Zweite ebenfalls gerade sein und wenn die erste ungerade ist, muss die zweite doch auch ungerade sein? Es sind auch nicht alle Augenpaare mit einem 1. geraden Ergebnis gerade. (z.B. 2 und 5 gleich 7) Und wie kommen Sie auf P(E1 geschnitten E2) = 1/2?   ─   user1d0e40 24.07.2021 um 19:39

Es sind ja auch \(\frac{18}{36}\) und nicht \(\frac{18}{27}\)!   ─   cauchy 24.07.2021 um 23:03

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