Wunschdenken ist selten eine gute Idee bei Beweisen.
Wenn Du die Wahrheitstabelle von $(A\implies B)\land (B\implies C)$ mit der von $A\implies C$ vergleichst (leicht mit wolframalpha), stellst Du fest, dass die nicht identisch sind (betrachte die Belegung ABC=FTF). Also sind die Ausdrücke nicht äquivalent, folglich ist jeder Versuch das eine in das andere umzuformen zum Scheitern verurteilt.
Es ist vielmehr so, dass stets $[(A\implies B)\land (B\implies C)] \implies (A\implies C)$ gilt, d.h. diese Aussage ist stets wahr. Das kann man mit einer Wahrheitstabelle prüfen (viel Vergnügen, hab ich selbst mit wolframalpha nicht hingekriegt, nur mit Kombi von wolframalpha und Handarbeit) oder durch Umformungen (da auch viel Vergnügen, das mach mal schön alleine ;-)).