Frage zur Aussagenlogik

Aufrufe: 206     Aktiv: 08.11.2023 um 23:04

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Ich bin gerade dabei die wichtigsten Beweismethoden mit Äquivalenzumformungen herzuleiten, um nachzuvollziehen, warum Beweise durch Kontraposition, Direkte Beweise etc. überhaupt funktionieren.

Ich bin zurzeit beim direkten Beweis, den ich als folgende Implikation verstehe:
$((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$

Wenn ich die Implikationen bei $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ auflöse komme ich zu folgendem Ausdruck:
$(\neg A \lor B) \land (\neg B \lor C)$

Um nun auf $A \Rightarrow C$, also $\neg A \lor C$ zu schließen, müsste ich doch das folgende machen:
$(\neg A \lor B) \land (\neg B \lor C)$
$\Rightarrow$
$\neg A \lor (B \land \neg B) \lor C$


Aber ist dieser Schritt erlaubt oder mach ich vielleicht etwas falsch?
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Push   ─   danieldev 08.11.2023 um 22:35
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1 Antwort
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Wunschdenken ist selten eine gute Idee bei Beweisen.
Wenn Du die Wahrheitstabelle von $(A\implies B)\land (B\implies C)$ mit der von $A\implies C$ vergleichst (leicht mit wolframalpha), stellst Du fest, dass die nicht identisch sind (betrachte die Belegung ABC=FTF). Also sind die Ausdrücke nicht äquivalent, folglich ist jeder Versuch das eine in das andere umzuformen zum Scheitern verurteilt.
Es ist vielmehr so, dass stets $[(A\implies B)\land (B\implies C)] \implies (A\implies C)$ gilt, d.h. diese Aussage ist stets wahr. Das kann man mit einer Wahrheitstabelle prüfen (viel Vergnügen, hab ich selbst mit wolframalpha nicht hingekriegt, nur mit Kombi von wolframalpha und Handarbeit) oder durch Umformungen (da auch viel Vergnügen, das mach mal schön alleine ;-)).
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