Du hast 4 Variable:  Die Hypotenuse sei c; die Katheten a und b und der Flächeninhalt S: S ist ein Parameter, der fest gegeben ist, dessen Zahlenwert der Verfasser der Aufgabe Dir aber nicht sagen will. Im Ergebnis werden die Seitenlängen a,b und c in Abhängigkeit von S gesucht.
Wir behandeln S also wie eine gegebene Zahl.
Um a, b und c zu berechnen, brauchen wir zwei Gleichungen, aus denen wir dann eine Gleichung machen die in der Struktur so aussieht:
c=f(a) Nun kommt die Analysis ins Spiel. Wir müssen a so bestimmen, dass c minimal wird.

Genug der Theorie. Wir brauchen zwei Gleichungen in denen a,b und c vorkommen. S ist eine gegebene Zahl und darf daher auch vorkommen.
1) Wie ist der Zusammenhang zwischen S und den Dreiecksseiten? Bzw. Wie berechnet man S aus den Dreiecksseiten
2) Es gibt eine sehr bekannte Formel die den Zusammenhang der Seiten im rechtwinkligen Dreieck beschreibt. Das ist der Satz des Py.................

Schau mal, wie weit Du mit dieser Hilfe kommst, meld Dich wieder mit Deinem Lösungsversuch, wenn es irgendwo hakt.

Hier ein paar Tipps:

Da nicht anders definiert, kannst du die Hypothenuse c nennen, die Katheten a und b. Somit liegt der rechte Winkel an Punkt C. Ohne die Allgemeinheit zu beschränken, kannst du sagen, dass a und b entweder gleich lang sein sollen, oder a die kürzere der beiden ist. Mathematisch ausgedrückt hieße das:

\(a\le b\)

Da das Dreieck rechtwinklig ist, gelten der Satz des Pythagoras \(c^2=a^2+b^2\) und die Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke \(S=\frac{ab}{2}\) Damit und mit der Tatsache, dass S eine Konstante ist, lässt sich die Aufgabe lösen. Überlege dir am besten, was davon deine Zielfunktion ist und danach, wie du die "störenden" Unbekannten los wirst.

Ein letzter Tipp: Das Quadrat einer Funktion wird dann extrem, wenn die Funktion selbst extrem wird. Wer das weiß, spart sich möglicherweise einen hässlichen Wurzelterm.