Es handelt sich hier um einen Kreisring, und der hat zwei Randkomponenten.
Wenn man den kleineren Radius gegen \(0\) streben lässt, dann erhält man im Grenzwert als Gebiet die Kreisscheibe ohne den Ursprung. Die Zusatzfrage ist, ob der Grenzwert der entsprechenden Lösungen dann mit der Lösung, die zur ganzen Kreisscheibe gehört, übereinstimmt.
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Könntest du mir da vielleicht noch ein bisschen mehr zu sagen (oder vielleicht wo ich dazu noch was finde)?
Ich verstehe das noch nicht ganz.
Tut mir leid, dass ich mich da so anstelle .. ─ jemanik 06.01.2021 um 19:40
Falls nicht, dann müsstest Du Dir einerseits abstrakte Fourierreihen in Hilberträumen und andererseits Eigenfunktionen des Laplaceoperators auf Kreisringen aus Büchern beibringen. Ersteres ist Standard, Du findest es in jedem Buch über Funktionalanalysis. Dass Eigenfunktionen des Laplace-Operators eine Hilbertbasis von \(L^2\) bilden ist auch Standard und in vielen Büchern über Partielle Differentialgleichungen zu finden. Die speziellen Eigenfunktionen auf Kreisringen sind Produkte aus Besselfunktionen (in \(r\)) und Winkelfunktionen (in \(\varphi\)). Allerdings benötigt man diese genaue Information doch nicht, um die Zusatzaufgabe zu lösen; man kann die Aussage mit einfachen Gegenbeispielen widerlegen (denke an konstante Randbedingungen). ─ slanack 06.01.2021 um 20:40
Den Transfer auf den Kreisring verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht ─ jemanik 08.01.2021 um 09:10
Und wirklich vielen Dank dir für deine Zeit und deine Mühe!!! ─ jemanik 09.01.2021 um 11:04
Das heißt ich mache ganz normal die Transformation in Polarkoordinaten und kommen dann zur allgemeinen Lsöungsformel für die Laplace-Gleichung, oder?
Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wie man die gegebenen Randbedingungen korrekt einsetzt um die Fourier-Koeffizienten zu erhalten
─ jemanik 06.01.2021 um 12:50