Laplace Gleichung Kreisgebiet

Aufrufe: 830     Aktiv: 09.01.2021 um 11:04

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Hallo zusammen :)
Ich verstehe folgende Aufgabe nicht.
Vor allem, warum gibt es für einen Kreis zwei Ränder?

Danke schonmal!

 

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Es handelt sich hier um einen Kreisring, und der hat zwei Randkomponenten.

Wenn man den kleineren Radius gegen \(0\) streben lässt, dann erhält man im Grenzwert als Gebiet die Kreisscheibe ohne den Ursprung. Die Zusatzfrage ist, ob der Grenzwert der entsprechenden Lösungen dann mit der Lösung, die zur ganzen Kreisscheibe gehört, übereinstimmt.

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Super, danke schonmal :)
Das heißt ich mache ganz normal die Transformation in Polarkoordinaten und kommen dann zur allgemeinen Lsöungsformel für die Laplace-Gleichung, oder?

Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wie man die gegebenen Randbedingungen korrekt einsetzt um die Fourier-Koeffizienten zu erhalten
  ─   jemanik 06.01.2021 um 12:50

Nein, Polarkoordinaten passen hier nicht, da weder \(f\) noch \(g\) als radialsymmetrisch (in diesem Fall also als konstant) vorausgesetzt werden. Du musst eine Reihenentwicklung bezüglich der Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf \(\Omega\) bilden. Diese erhält Du direkt aus der abstrakten Fourierreihe, Du musst nur die Definition einsetzen. Schwieriger ist es dann, die Zusatzaufgabe zu behandeln, dazu musst Du die Eigenfunktionen genauer betrachten. Ich denke, Ihr müsstet diese in der Vorlesung behandelt haben, sonst wäre die Aufgabe wohl übetrieben schwierig.   ─   slanack 06.01.2021 um 15:00

Puh, dann war ich da ja komplett auf dem Holzweg.
Könntest du mir da vielleicht noch ein bisschen mehr zu sagen (oder vielleicht wo ich dazu noch was finde)?
Ich verstehe das noch nicht ganz.
Tut mir leid, dass ich mich da so anstelle ..
  ─   jemanik 06.01.2021 um 19:40

Ist dies eine Übungsaufgabe speziell zu einer Vorlesung? Dann müsstet Ihr doch die Eigenfunktionen des Laplace-Operators als Hilbertbasis von \(L^2\) behandelt haben.
Falls nicht, dann müsstest Du Dir einerseits abstrakte Fourierreihen in Hilberträumen und andererseits Eigenfunktionen des Laplaceoperators auf Kreisringen aus Büchern beibringen. Ersteres ist Standard, Du findest es in jedem Buch über Funktionalanalysis. Dass Eigenfunktionen des Laplace-Operators eine Hilbertbasis von \(L^2\) bilden ist auch Standard und in vielen Büchern über Partielle Differentialgleichungen zu finden. Die speziellen Eigenfunktionen auf Kreisringen sind Produkte aus Besselfunktionen (in \(r\)) und Winkelfunktionen (in \(\varphi\)). Allerdings benötigt man diese genaue Information doch nicht, um die Zusatzaufgabe zu lösen; man kann die Aussage mit einfachen Gegenbeispielen widerlegen (denke an konstante Randbedingungen).
  ─   slanack 06.01.2021 um 20:40

Hm, meine letzte Bemerkung (Zusatzaufgabe) ist vielleicht falsch. Muss noch etwas drüber nachdenken...   ─   slanack 06.01.2021 um 21:28

Wir haben in der Vorlesung zu PDGl die Transformation der Laplace-Gleichung in Polarkoordinaten behandelt. Danach haben wir die Gleichung mit dem Separationsansatz gelöst und die freien Koeffizienten der Lösung einmal für ein Rechteck bestimmt.

Den Transfer auf den Kreisring verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht
  ─   jemanik 08.01.2021 um 09:10

Habe es mir überlegt: Konstante Randbedingungen liefern doch kein Gegenbeispiel zur Zusatzaufgabe. Wenn man z.B. \(u\equiv0\) auf dem inneren Rand und \(u\equiv1\) auf dem äußeren Rand vorgibt und \(R_1\to0\) streben lässt, dann konvergieren die entsprechenden Lösungen punktweise, aber nicht gleichmäßig, gegen die Lösung des Randwertproblems auf der Kreisscheibe.   ─   slanack 08.01.2021 um 13:07

Mir fällt aber gerade kein generelles Argument ein, warum das auch für allgemeine Randbedingungen gelten sollte. Es könnte sein, dass es gilt, aber im Moment sehe ich nur den Weg, die explizite Form der Eigenfunktionen zu betrachten. Diese sind aber recht kompliziert, involvieren im radialen Anteil Bessel-Funktionen erster und zweiter Ordnung. Ich habe jetzt keine Zeit, das weiter zu verfolgen. Schaue Dir mal Seite 6 von http://arxiv.org/pdf/1206.1278.pdf und die Referenzen an, da wird es ausführlich erklärt. Vielleicht gibt es auch einen einfacheren Weg, aber dazu müsste man Euer Skript zu Rate ziehen, was mit Reihenentwicklung genau gemeint ist: abstrakte oder explizite Entwicklung.   ─   slanack 08.01.2021 um 13:13

Alles klar, da schaue ich gleich mal rein.
Und wirklich vielen Dank dir für deine Zeit und deine Mühe!!!
  ─   jemanik 09.01.2021 um 11:04

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