Laurentreihenentwicklung von 1/(z^2 + 1) in i und -i

Aufrufe: 102     Aktiv: 22.03.2023 um 09:41

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Ich versuche die Laurentreihe von 1/(z^2 + 1) in i und -i zu bestimmen. Wie macht man das? Ich habe den Term durch Partialbruchzerlegung auf (i/2)*(1/z+i) - (i/2)*(1/z-i) gebracht und jetzt weiß ich aber nicht wie ich das in eine Summe umwandele. Die geometrische Reihe war eigentlich mein erster Gedanke, aber die kann ich ja nur für |z - i| < 1 bzw.|z + i| < 1 anwenden....
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Student, Punkte: 22

 
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Erstmal sortiere die Gedanken und mache nicht zwei Aufgaben gleichzeitig. Es gibt nicht "die LR in i und -i", sondern eine LR in i, und eine in -i.
PBZ ist ein guter Anfang (vergiss beim Formeln-schreiben in ascii die Klammern nicht).
Nehmen wir mal die Reihe in $z=i$: Dann ist der Anteil $\frac1{z-i}$ der Anteil für $k=-1$ (Reihe von $k=-\infty$ bis $\infty$) und $\frac1{z+i}$ wird mit der geometrischen Reihe umgeschrieben (mit $z+i=i-(-z)$). Schau mal, ob Du damit durchkommst.
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Lehrer/Professor, Punkte: 34.39K

 

Okay, ich habe jetzt verstanden, dass quasi nur der Anteil mit 1 - i zum HT beiträgt und es eben nur den Koeffizienten k = -1 gibt, aber jetzt ist mir grade aufgefallen, dass der Grenzwert der geometrische Reihe ja eigentlich 1/(1-z) ist und ich habe ja gar keine 1 sondern ein i, geht das denn dann überhaupt, dass man es in die geometrische Reihe umschreibt?   ─   emiliahlg 21.03.2023 um 16:56

Den Anfang des Tricks zum Umschreiben hab ich Dir oben in Klammern geschrieben. Klammere dann so aus, dass es mit $1-...$ anfängt.   ─   mikn 21.03.2023 um 20:39

Ja, ich bin drauf gekommen, danke :)   ─   emiliahlg 22.03.2023 um 09:41

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