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Grenzwert dieser Zahlenfolge berechnen

Aufrufe: 850 Aktiv: 07.04.2022 um 13:18

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Ich habe die Zahlenfolge an = (((2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2(n-1))/(n^2))^n

Ich habe den oberen Teil der Zahlenfolge mithilfe der Gaußschen Summenfolge in die Form (2(n-1) * 2n)/2 gebracht und zu 2n^2 - 2n vereinfacht. Insgesamt würde die Zahlenfolge dann so aussehen: an= ((2n^2 - 2n)/(n^2))^n, vereinfacht würde das (2 - (2/n))^n sein. Stimmt das soweit? Und wie kann ich dann den Grenzwert berechnen?

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gefragt 07.04.2022 um 10:47

usera70f42
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1 Antwort

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maqu · Answer 1 · 2022-04-07T11:22:45Z

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Du hast die Gaußsche Summenformel nicht ganz richtig verwendet. Klammere erst die 2 aus und wende dann die Summenformel an. Die 2 kürzt sich dann mit dem

$\dfrac{1}{2}$ aus der Summernformel raus. Übrig bleibt ein einfaches Produkt. Wenn du das dann durch

$n^2$ teilst, kannst du kürzen und du erhälst einen Ausdruck für deine gegebene Folge für welchen du den Grenzwert kennen solltest.
Schreib es einmal ordentlich auf. Falls du nicht weiterkommst, lade deinen Rechenweg hoch.

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geantwortet 07.04.2022 um 11:22

maqu
Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K

Hallo, vielen Dank. Ich habe es jetzt nochmal probiert, allerdings habe ich das Problem, dass am Ende (1-(1/n)^n rauskommt und nicht (1+(1/n)^n, sodass ich den Grenzwert mit e beschreiben könnte.

Für die Folge muss ich doch die Gaußsche Summenformel folgendermaßen angeben: 2 * (n * (n-1))*(1/2), oder? Oder würde auch 2 * (n * (n+1)) * (1/2) gehen? ─ usera70f42 07.04.2022 um 12:11

Super, du hast bis jetzt auf jedenfall erstmal alles richtig umgestellt. Ein letzter Hinweis:

$\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac{-1}{n}\right)^n$ . Wird es jetzt klar?^^ Wie lautet dann dein Grenzwert? ─ maqu 07.04.2022 um 13:03

Ahh Dankeschön! also dann ist der Grenzwert e^-1 ─ usera70f42 07.04.2022 um 13:11

Richtig 👍 ─ maqu 07.04.2022 um 13:18

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