Vollständige Induktion rekursive Folge

Erste Frage Aufrufe: 33     Aktiv: 28.03.2021 um 23:29

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Es sei \((a_n)_{n∈N}\) eine rekursiv definierte Folge mit:

\(a_1=1\) und \(a_{n+1}=a_n+3^n\) 

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass sich die Folge für alle n∈N durch das explizite Bildungsgesetz beschreiben lässt:

\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\) 
________________________

Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter. Ich weiß, dass die Aufgabe aufgehen sollte. Wenn mir jemand seinen Rechenweg aufschreiben könnte, wäre ich äußerst dankbar!
Viele Grüße
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1 Antwort
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Tipp: \(1+\frac12=\frac32\), und Potenzrechenregeln. Wenn das nicht reicht, lade Deine Lösung, so weit Du gekommen bist, hier hoch. Dann schauen wir mal.
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Also folgendes: Ich hoffe, das ist soweit sinnvoll:

I.A.:
\(n=1\)
\(a_1=1=\frac{1}{2}(3^1-1)=1\) ✓

I.V.:
Es existiert ein n∈N:
\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\)

I.S.:
\(n \rightarrow n+1\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

\(a_{n+1}\) ist in der Aufgabe als \(a_{n+1}=a_n+3^n\) gegeben, daher kann man es einsetzen:

\(a_n+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

\(a_n\) ist ja als \(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\) gegeben, daher setze ich es wieder ein:

\(\frac{1}{2}(3^n-1)+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

Wenn das jetzt halbwegs sinnvoll gewesen ist, muss ich umformen und zeigen, dass auf beiden Seiten das selbe steht. Wenn ich für n=1 einsetze, geht die Gleichung auf, für n=2 ebenso.
Mein Problem besteht darin, dass ich die Gleichung nicht umgeformt kriege, obwohl es klappen sollte.
  ─   userc09f2d 28.03.2021 um 23:21

Vorgehen soweit ok. Zum Umformen nicht die Gleichung hinschreiben und beide Seiten umformen (zuviel Schreibarbeit und unübersichtlich), sondern die linke Seite der Beh. nehmen, da anfangen umzuformen bis die recht Seite rauskommt, also
\(a_{n+1}=a_n+3^n\stackrel{I.V.}{=} \frac12(3^n-1) +3^n=\) So und nun zusammenfassen, siehe mein Tipp \(a\cdot b+ c\cdot b=(a+c)\cdot b\).
Das ist eine sehr einfache Induktion. Das soll nicht frustrieren, sondern Dir klar machen, dass Du elementare Umformungen (Schule Mittelstufe) wiederholen solltest, bevor Du Dich an weitere Induktionen heranwagst.
  ─   mikn 28.03.2021 um 23:29

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