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Mikn wurde bereits informiert.
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Es sei \((a_n)_{n∈N}\) eine rekursiv definierte Folge mit:
\(a_1=1\) und \(a_{n+1}=a_n+3^n\)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass sich die Folge für alle n∈N durch das explizite Bildungsgesetz beschreiben lässt:
\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\)
________________________
Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter. Ich weiß, dass die Aufgabe aufgehen sollte. Wenn mir jemand seinen Rechenweg aufschreiben könnte, wäre ich äußerst dankbar!
Viele Grüße
\(a_1=1\) und \(a_{n+1}=a_n+3^n\)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass sich die Folge für alle n∈N durch das explizite Bildungsgesetz beschreiben lässt:
\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\)
________________________
Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter. Ich weiß, dass die Aufgabe aufgehen sollte. Wenn mir jemand seinen Rechenweg aufschreiben könnte, wäre ich äußerst dankbar!
Viele Grüße
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userc09f2d
Punkte: 10
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I.A.:
\(n=1\)
\(a_1=1=\frac{1}{2}(3^1-1)=1\) ✓
I.V.:
Es existiert ein n∈N:
\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\)
I.S.:
\(n \rightarrow n+1\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)
\(a_{n+1}\) ist in der Aufgabe als \(a_{n+1}=a_n+3^n\) gegeben, daher kann man es einsetzen:
\(a_n+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)
\(a_n\) ist ja als \(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\) gegeben, daher setze ich es wieder ein:
\(\frac{1}{2}(3^n-1)+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)
Wenn das jetzt halbwegs sinnvoll gewesen ist, muss ich umformen und zeigen, dass auf beiden Seiten das selbe steht. Wenn ich für n=1 einsetze, geht die Gleichung auf, für n=2 ebenso.
Mein Problem besteht darin, dass ich die Gleichung nicht umgeformt kriege, obwohl es klappen sollte. ─ userc09f2d 28.03.2021 um 23:21