Vollständige Induktion rekursive Folge

Erste Frage Aufrufe: 711     Aktiv: 28.03.2021 um 23:29

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Es sei \((a_n)_{n∈N}\) eine rekursiv definierte Folge mit:

\(a_1=1\) und \(a_{n+1}=a_n+3^n\) 

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass sich die Folge für alle n∈N durch das explizite Bildungsgesetz beschreiben lässt:

\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\) 
________________________

Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter. Ich weiß, dass die Aufgabe aufgehen sollte. Wenn mir jemand seinen Rechenweg aufschreiben könnte, wäre ich äußerst dankbar!
Viele Grüße
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Tipp: \(1+\frac12=\frac32\), und Potenzrechenregeln. Wenn das nicht reicht, lade Deine Lösung, so weit Du gekommen bist, hier hoch. Dann schauen wir mal.
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Also folgendes: Ich hoffe, das ist soweit sinnvoll:

I.A.:
\(n=1\)
\(a_1=1=\frac{1}{2}(3^1-1)=1\) ✓

I.V.:
Es existiert ein n∈N:
\(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\)

I.S.:
\(n \rightarrow n+1\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

\(a_{n+1}\) ist in der Aufgabe als \(a_{n+1}=a_n+3^n\) gegeben, daher kann man es einsetzen:

\(a_n+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

\(a_n\) ist ja als \(a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)\) gegeben, daher setze ich es wieder ein:

\(\frac{1}{2}(3^n-1)+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)\)

Wenn das jetzt halbwegs sinnvoll gewesen ist, muss ich umformen und zeigen, dass auf beiden Seiten das selbe steht. Wenn ich für n=1 einsetze, geht die Gleichung auf, für n=2 ebenso.
Mein Problem besteht darin, dass ich die Gleichung nicht umgeformt kriege, obwohl es klappen sollte.
  ─   userc09f2d 28.03.2021 um 23:21

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