Extrempunkte

Erste Frage Aufrufe: 132     Aktiv: 05.04.2022 um 19:01

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Wollte fragen nachdem man die erste Ableitung gleich 0 setzt um die x koordinate der Extrempunkt zu berechnet, warum setzt man die in die zweite ableitung um zu schauen ob es tief oder hochpunkt ist. Ich verstehe also nicht warum die zweite ableitung uns zeigt ob es tief oder hochpunkt ist.
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Am Wert der zweiten Ableitung kannst du die Krümmung der Kurve erkennen; ist sie gleich Null: keine Krümmung, im Wendepunkt der Kurve ist das der Fall, ansonsten  ist sie gekrümmt. (f">0 links, f"<0 rechts)

Wenn die Kurve rechtsgekrümmt ist, liegt im Fall eines Extremums (waagrechte Tangente, f'=0) ein Hochpunkt vor. Der Wert von f'' ist dann <0

Umgekehrt, (f'=0 und f''>0) ein Tiefpunkt, der ist linksgekrümmt.

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Die Bedingung $f'(x)=0$ ist nur eine notwendige Bedingung für Extrempunkte. Das bedeutet, dass wenn man einen Extrempunkt hat, diese Bedingung erfüllt sein muss. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Bedingung alleine auch immer einen Extrempunkt liefert. Betrachte hier beispielsweise $f(x)=x^3$. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung und zeichne einmal die Funktion. Was stellst du fest?

Um also sicherzustellen, dass tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt, braucht man also die hinreichende Bedingung. Ist die hinreichende Bedingung erfüllt, folgt daraus sofort, dass ein Extrempunkt vorliegt. Im Gegensatz zur notwendigen Bedingung, muss die hinreichende Bedingung aber nicht erfüllt sein. Es kann also sein, dass ein Extrempunkt vorliegt, aber die hinreichende Bedingung ist trotzdem nicht erfüllt (Beispiel $f(x)=x^4$).
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Selbstständig, Punkte: 22.19K

 

deine Worte weiß ich zu schätzen ... habe meine Antwort gelöscht weil sie ja nicht wirklich auf die frage eingeht und damit eigentlich off topic ist ... und der meta-talk interessiert ja den Frager auch nicht^^   ─   maqu 05.04.2022 um 01:29

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Dann bin ich ja beruhigt, wenn du mir das nicht krumm nimmst. :)   ─   cauchy 05.04.2022 um 02:26

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