Am Wert der zweiten Ableitung kannst du die Krümmung der Kurve erkennen; ist sie gleich Null: keine Krümmung, im Wendepunkt der Kurve ist das der Fall, ansonsten  ist sie gekrümmt. (f">0 links, f"<0 rechts)

Wenn die Kurve rechtsgekrümmt ist, liegt im Fall eines Extremums (waagrechte Tangente, f'=0) ein Hochpunkt vor. Der Wert von f'' ist dann <0

Umgekehrt, (f'=0 und f''>0) ein Tiefpunkt, der ist linksgekrümmt.

Die Bedingung $f'(x)=0$ ist nur eine notwendige Bedingung für Extrempunkte. Das bedeutet, dass wenn man einen Extrempunkt hat, diese Bedingung erfüllt sein muss. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Bedingung alleine auch immer einen Extrempunkt liefert. Betrachte hier beispielsweise $f(x)=x^3$. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung und zeichne einmal die Funktion. Was stellst du fest?

Um also sicherzustellen, dass tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt, braucht man also die hinreichende Bedingung. Ist die hinreichende Bedingung erfüllt, folgt daraus sofort, dass ein Extrempunkt vorliegt. Im Gegensatz zur notwendigen Bedingung, muss die hinreichende Bedingung aber nicht erfüllt sein. Es kann also sein, dass ein Extrempunkt vorliegt, aber die hinreichende Bedingung ist trotzdem nicht erfüllt (Beispiel $f(x)=x^4$).