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Hallo,

wie sind denn die \( p_i \) definiert? Was muss für die \( p_i \) gelten? Welche Eigenschaften hat ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

Grüße Christian
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 26.8K
 

pi sind definiert als 1,2,3, 4
Ich weiß nicht so recht, was ein wahrscheinlichlichkeitsmaß für Eigenschaften hat
  ─   anonym 19.04.2021 um 20:00

Achso muss das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen?   ─   anonym 19.04.2021 um 20:04

Ja also es ist beispielsweise \( \mathbb{P}(\{1\}) = p_1 \). Also \( p_1 \) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis \( \{1\} \) eintritt.
Die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes solltet ihr in der Vorlesung besprochen haben. Es wäre auf jeden Fall sehr wichtig, dass du diese auf dem Schirm hast.
Es gilt \( \mathbb{P}(\Omega) =1 \) (Normiertheit). Also die Wahrscheinlichkeit das irgendein Ereignis passiert, ist 100%.
Und es gilt die sogenannte \( \sigma\)-Additivität
$$ \mathbb{P}\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^\infty \mathbb{P}(A_i) $$
für alle paarweise disjunkten (\(A_i \cap A_j = \emptyset \)) Teilmengen (\(A_i \subset \Omega\)) deines Ergebnisraums.

Kannst du damit die Aufgabe lösen? Oder hast du zumindest eine Idee?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 20:08

Naja das Ereignis A besteht ja aus 1 und 2 und die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/2 weil in Omega 1,2,3,4 enthalten sind oder? Aber ich weiß nicht was ich jetzt so recht angeben soll   ─   anonym 19.04.2021 um 20:22

Die Wahrscheinlichkeit ist nicht \( \frac 1 2 \), weil in \( A \) die Hälfte der Ereignisse sind.
Fang mal so an
$$ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\ldots) = \ldots $$
Bedenke, was ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllen muss und bedenke, dass es mehrere Lösungen gibt
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 20:36

P(A) =P(1)+P(2)= 1/4 + 1/4 =2/4 =1/2
  ─   anonym 19.04.2021 um 20:52

Das ist schon mal gut.
Machen wir erstmal nur bis hier
$$ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(1) + \mathbb{P}(2) = p_1 + p_2 = \frac 1 2 $$
Was erhalten wir aus
$$ \mathbb{P}(B) = \ldots $$
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 20:54

P(B) = P(1) + P(3) = p1 +p3=1/4+1/4=1/2   ─   anonym 19.04.2021 um 20:57

Ja lass das \( \frac 1 4 \) erstmal weg. Wir wollen erstmal die Rahmenbedingungen wissen. Wie gesagt, es gibt mehrere Lösung. Aber \(p_1 = p_2 = p_3 = \frac 14 \) wäre eine davon mit geeignetem \( p_4 \). Aber dazu später mehr

Also haben wir schon mal 2 Gleichungen.
$$ \begin{array}{ccc} p_1 + p_2 & = & \frac 1 2 \\ p_1 + p_3 & = & \frac 1 2 \end{array} $$

Aus der Eigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, können wir noch so eine Gleichung aufstellen

$$ \mathbb{P}(\Omega) = \ldots = 1 $$
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:02

P(Ω)=p1+p2+p3+p4=1   ─   anonym 19.04.2021 um 21:07

Ja sehr gut. Das sind alle Einschränkungen. Zusätzlich ist noch zu beachten, dass \( p_i \in [0,1] \) gelten muss.
Jetzt können wir alle Lösungen bestimmen. Betrachten wir erstmal die beiden Gleichungen. Was kannst du für einen Zusammenhang zwischen \( p_2 \) und \( p_3 \) feststellen?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:26

p2=p3   ─   anonym 19.04.2021 um 21:29

Yes. Jetzt haben wir es fast.
Sagen wir mal \( p_2 = p_3 = t \).
Kannst du \( p_1 \) und \( p_4 \) in Abhängigkeit von \( t \) aufstellen?
Kannst du das Intervall bestimmen, aus dem wir \( t \) wählen dürfen?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:36

p1+2t+p4=1

Wie ich jetzt auf Intervall von t komme weiß ich allerdings nicht.
  ─   anonym 19.04.2021 um 21:40

Nutze erstmal eine der ersten beiden Gleichungen um noch \( p_1 \) zu bestimmen   ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:44

p1=1/2 -t   ─   anonym 19.04.2021 um 21:45

und somit ist \( p_4\)?   ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:52

p4=1-2t-1/2+t = 1/2-2t+t=1/2-t   ─   anonym 19.04.2021 um 21:56

Ja sehr gut. Der Einfachheithalber, stellen wir die Lösung mal als Vektor dar

$$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac 1 2 -t \\ t \\ t \\ \frac 1 2 - t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac 1 2 \\ 0 \\ 0 \\ \frac 1 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Das ist nun unser Lösungsvektor oder unsere Lösungsgerade. Eine abschließende Sache müssen wir aber noch beachten. Es gilt \( p_i \in [0,1] \). Was bedeutet das für \( t \)?
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 21:59

t muss dann auch in dem Intervall [0,1] liegen?   ─   anonym 19.04.2021 um 22:04

Was passiert denn beispielsweise mit \( p_1 \), wenn \( t=1 \) gewählt wird?   ─   christian_strack 19.04.2021 um 22:06

dann ist p1=-1/2   ─   anonym 19.04.2021 um 22:08

ist das erlaubt?   ─   christian_strack 19.04.2021 um 22:09

Ne darf ja nur zwischen 0 und 1 sein   ─   anonym 19.04.2021 um 22:10

Also was darf \( t \) maximal sein?   ─   christian_strack 19.04.2021 um 22:10

Also muss t im Intervall zwischen [0, 1/2] sein? Weil p1 darf ja auch 0 sein   ─   anonym 19.04.2021 um 22:11

Yes!!!
Und das ist dann deine Lösung. Für jedes \( t \in [0, \frac 1 2 ] \) erhälst du ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Versuch die b) mal alleine zu lösen. Es ändert sich nicht viel :)
Ich gucke gerne drüber, falls du nicht weiter kommst oder fertig bist.
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 22:13

Und wie schreibe ich das hin? Weil man soll ja die wahrscheinlichkeitsmaße P angeben?
  ─   anonym 19.04.2021 um 22:15

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist im Prinzip eine Abbildung von einer Sigma Algebra (einer Menge von Teilmengen) von \( \Omega \) in das Intervall \( [0,1] \). Man Bezeichnet so eine Sigma Algebra meistens mit \( \Sigma \). Also
$$ \mathbb{P} : \Sigma \to [0,1] $$
Diese Abbildung kann man auch durch die Einzelereignisse darstellen und die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Es reicht also aus, alle \( p_i \) anzugeben. Und das tust du mit deiner Lösunsgeraden und der Einschränkung von \( t \).
Also für jedes \(t \in [0, \frac 1 2 ] \) beschreibt der Vektor
$$ \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac 1 2 - t \\ t \\ t \\ \frac 1 2 - t \end{pmatrix} $$
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das die angegebene Eigenschaft erfüllt.
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 22:26

Super, jetzt habe ich’s verstanden!! Vielen lieben Dank!!! Aufgabe b) sollte ich jetzt alleine schaffen ich muss ja nur 1/2 durch 1 austauschen und dann genauso vorgehen :)   ─   anonym 19.04.2021 um 22:36

Genau so ist es. Wie gesagt ich gucke gerne nochmal drüber wenn du deine Lösung hast. Aber erst morgen :p
Sehr gerne und einen schönen Abend noch :)
  ─   christian_strack 19.04.2021 um 23:10

meine Lösung für b) ist für t =0
p1=1-t
p2=t
p3=t
p4=-t
  ─   anonym 19.04.2021 um 23:23

Jap es gibt nur eine Lösung. Und zwar für \( t =0 \). Damit erhalten wir das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß
$$ p_1 = 1 , \quad p_2= p_3 = p_4 =0 $$
Das kannst du dann so direkt angeben. :)
  ─   christian_strack 20.04.2021 um 11:12

Alles klar, dann gebe ich das noch so an :)   ─   anonym 20.04.2021 um 11:35

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