Hallo,
Dann fangen wir mal an:
Es gilt \(A+B=\left ( A\cup B \right )\setminus\left ( A\cap B \right )=\left ( A\cap B^C \right )\cup \left ( B\cap A^C \right )\).
Und \(\left ( A+B \right )^C=\left ( \left ( A\cup B \right )\cap \left ( A^C\cup B^C \right ) \right )^C=\left ( A^C\cap B^C \right )\cup \left ( A\cap B \right )\).
Somit ist:
\(\left ( A+B \right )+C=\left ( \left ( A+B \right )\cap C^C \right )\cup \left ( \left ( A+B \right )^C\cap C \right )\)
\(=\left ( \left ( \left ( A\cap B^C \right )\cup\left ( A^C\cap B \right ) \right )\cap C^C \right )\cup \left ( \left ( \left ( A^C\cap B^C \right )\cup\left ( A\cap B \right ) \right )\cap C \right )\)
\(=\left ( \left ( A\cap B^C\cap C^C \right )\cup\left ( A^C\cap B\cap C^C \right ) \right )\cup\left ( \left ( A^C\cap B^C\cap C \right )\cup\left ( A\cap B\cap C \right ) \right )\)
Für \(A+\left ( B+C \right )\) erhalten wir völlig analog:
\(A+\left ( B+C \right )=\left ( \left ( A\cap B^C\cap C^C \right )\cup \left ( A\cap B\cap C \right ) \right )
\cup\left ( \left ( A^C\cap B\cap C^C \right )\cup\left ( A^C\cap B^C\cap C \right ) \right )\).
Es werden also jeweils die gleichen 4 Terme vereint, wodurch wir die Gleichheit sehen.
Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht vertippt.
Gruß,
Gauß
PS: Die Verknüpfung \(+\) hier wird auch Symmetrische Differenz genannt.
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