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"Also bei der vollständigen Induktion muss ich doch zwei Seiten haben, wo ich am Ende zeige, dass die gleich sind?"
Musst du nicht. Die dir vertrauten Gleichheitsbeweise sind nur ein Spezialfall von vollständiger Induktion. Mir ist immer wieder ein Rätsel, wie man vollständige Induktion bei Summen verstehen kann, ohne das "allgemeine Induktionsprinzip" zu verstehen. Aber das scheint vielen so zu gehen.
Natürliche Zahlen haben folgende "Induktionseigenschaft":
Sei für jedes $n\in\mathbb{N}_0$ eine Aussage $A(n)$ gegeben mit folgenden beiden Eigenschaften:
(i) $A(0)$ gilt.
(ii) Für jedes $n\in\mathbb{N}_0$, für das $A(n)$ gilt, gilt auch $A(n+1)$.
Dann gilt $A(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$.
Ein Beweis per vollständiger Induktion zeigt (i) und (ii) für gewisse Aussagen $A(n)$ und nutzt dann diese Eigenschaft der natürlichen Zahlen, um auf die Gültigkeit von $A(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ zu schließen.
Beispiel: Sei $A(n)$ die jeweils die Aussage $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$. Dann kann man die Eigenschaften (i) (hier: $\sum_{k=0}^0k=\frac{0\cdot(0+1)}{2}$ ) und (ii) (hier: für jedes $n\in\mathbb{N}_0$, für das $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ gilt, gilt auch $\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$ ) nachweisen und damit schlussfolgern, dass $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ gilt.
Beispiel: Sei $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ein Körperautomorphismus.Sei $A(n)$ jeweils die Aussage $\psi(n)=n$. Wenn es dir gelingt, die Eigenschaften (i) (hier: $\psi(0)=0$ ) und (ii) (hier: für jedes $n\in\mathbb{N}$ mit $\psi(n)=n$ gilt auch $\psi(n+1)=n+1$ ) nachzuweisen, folgt mit der obigen Induktionseigenschaft der natürlichen Zahlen, dass $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ gilt.
Kannst du im letzteren Beispiel (i) und (ii) nachweisen? Zu (i) ist nicht viel zu sagen und zu (ii):
Sei $n\in\mathbb{N}_0$ mit $\psi(n)=n$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist $\psi(n+1)=n+1$.
Wie mathejean schon schrieb: Es gilt $\psi(n+1)=\psi(n)+\psi(1)=\ldots$ (Warum?)
"wie kann überhaupt n/m gehen? Ich kann doch im Körper nicht divideren?"
a) Wir haben hier nicht irgendeinen Körper, sondern den Körper der rationalen Zahlen. Vermutlich habt ihr die rationalen Zahlen nicht exakt definiert, sondern arbeitet naiv mit "Schulwissen". Auf alle Fälle sollte bekannt sein, dass jede rationale Zahl sich (auf verschiedene Weisen) in der Form $\frac{n}{m}$ mit $n,m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ darstellen lässt und umgekehrt für jede Wahl von $n,m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ eine rationale Zahl durch $\frac{n}{m}$ gegeben ist.
Um eine weitere Verbindung zu den ganzen Zahlen herzustellen: Für alle $m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ ist $\frac{1}{m}$ das multiplikative Inverse zu $m=\frac{m}{1}$ in $\mathbb{Q}$ (Warum?). Für eine beliebige rationale Zahl $\frac{n}{m}$ gilt $\frac{n}{m}=\frac{n\cdot 1}{1\cdot m}=\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{m}=n\cdot m^{-1}$.
(Letztere Aussage kann nützlich sein für den gesuchten Beweis von $\psi(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$!)
b) Auch in beliebigen Körpern K kann man eine "Division" definieren durch $\frac{a}{b}:=a\cdot b^{-1}$ für alle $a,b\in K$ mit $b\neq 0$.
Musst du nicht. Die dir vertrauten Gleichheitsbeweise sind nur ein Spezialfall von vollständiger Induktion. Mir ist immer wieder ein Rätsel, wie man vollständige Induktion bei Summen verstehen kann, ohne das "allgemeine Induktionsprinzip" zu verstehen. Aber das scheint vielen so zu gehen.
Natürliche Zahlen haben folgende "Induktionseigenschaft":
Sei für jedes $n\in\mathbb{N}_0$ eine Aussage $A(n)$ gegeben mit folgenden beiden Eigenschaften:
(i) $A(0)$ gilt.
(ii) Für jedes $n\in\mathbb{N}_0$, für das $A(n)$ gilt, gilt auch $A(n+1)$.
Dann gilt $A(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$.
Ein Beweis per vollständiger Induktion zeigt (i) und (ii) für gewisse Aussagen $A(n)$ und nutzt dann diese Eigenschaft der natürlichen Zahlen, um auf die Gültigkeit von $A(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ zu schließen.
Beispiel: Sei $A(n)$ die jeweils die Aussage $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$. Dann kann man die Eigenschaften (i) (hier: $\sum_{k=0}^0k=\frac{0\cdot(0+1)}{2}$ ) und (ii) (hier: für jedes $n\in\mathbb{N}_0$, für das $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ gilt, gilt auch $\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$ ) nachweisen und damit schlussfolgern, dass $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ gilt.
Beispiel: Sei $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ein Körperautomorphismus.Sei $A(n)$ jeweils die Aussage $\psi(n)=n$. Wenn es dir gelingt, die Eigenschaften (i) (hier: $\psi(0)=0$ ) und (ii) (hier: für jedes $n\in\mathbb{N}$ mit $\psi(n)=n$ gilt auch $\psi(n+1)=n+1$ ) nachzuweisen, folgt mit der obigen Induktionseigenschaft der natürlichen Zahlen, dass $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ gilt.
Kannst du im letzteren Beispiel (i) und (ii) nachweisen? Zu (i) ist nicht viel zu sagen und zu (ii):
Sei $n\in\mathbb{N}_0$ mit $\psi(n)=n$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist $\psi(n+1)=n+1$.
Wie mathejean schon schrieb: Es gilt $\psi(n+1)=\psi(n)+\psi(1)=\ldots$ (Warum?)
"wie kann überhaupt n/m gehen? Ich kann doch im Körper nicht divideren?"
a) Wir haben hier nicht irgendeinen Körper, sondern den Körper der rationalen Zahlen. Vermutlich habt ihr die rationalen Zahlen nicht exakt definiert, sondern arbeitet naiv mit "Schulwissen". Auf alle Fälle sollte bekannt sein, dass jede rationale Zahl sich (auf verschiedene Weisen) in der Form $\frac{n}{m}$ mit $n,m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ darstellen lässt und umgekehrt für jede Wahl von $n,m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ eine rationale Zahl durch $\frac{n}{m}$ gegeben ist.
Um eine weitere Verbindung zu den ganzen Zahlen herzustellen: Für alle $m\in\mathbb{Z}$ mit $m\neq0$ ist $\frac{1}{m}$ das multiplikative Inverse zu $m=\frac{m}{1}$ in $\mathbb{Q}$ (Warum?). Für eine beliebige rationale Zahl $\frac{n}{m}$ gilt $\frac{n}{m}=\frac{n\cdot 1}{1\cdot m}=\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{m}=n\cdot m^{-1}$.
(Letztere Aussage kann nützlich sein für den gesuchten Beweis von $\psi(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$!)
b) Auch in beliebigen Körpern K kann man eine "Division" definieren durch $\frac{a}{b}:=a\cdot b^{-1}$ für alle $a,b\in K$ mit $b\neq 0$.
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geantwortet
tobit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 275
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EDIT: Dieser Kommentar bezog sich auf einen inzwischen gelöschten Kommentar von mfieok0 .
Für den Induktionsanfang ist $\psi(n)=n$ für den Spezialfall $n=0$ zu zeigen, also ist lediglich $\psi(0)=0$ nachzuweisen (was direkt aus der Homomorphismus-Eigenschaft von $\psi$ folgt). Deinem Argument mit $n\cdot1$ kann ich nicht folgen. Warum soll $\psi(n)=n\cdot1$ gelten?
Auch bei deinem Induktionsschritt-Versuch kann ich keine Begründung für deine Annahme $\psi(n+1)=(n+1)\cdot 1$ erkennen.
Für einen erfolgreichen Induktionsschritt überlege dir wie gesagt zunächst, warum $\psi(n+1)=\psi(n)+\psi(1)$ gilt. Und irgendwo musst du wohl die Induktionsvoraussetzung $\psi(n)=n$ ins Spiel bringen... ─ tobit 27.09.2022 um 18:28
Für den Induktionsanfang ist $\psi(n)=n$ für den Spezialfall $n=0$ zu zeigen, also ist lediglich $\psi(0)=0$ nachzuweisen (was direkt aus der Homomorphismus-Eigenschaft von $\psi$ folgt). Deinem Argument mit $n\cdot1$ kann ich nicht folgen. Warum soll $\psi(n)=n\cdot1$ gelten?
Auch bei deinem Induktionsschritt-Versuch kann ich keine Begründung für deine Annahme $\psi(n+1)=(n+1)\cdot 1$ erkennen.
Für einen erfolgreichen Induktionsschritt überlege dir wie gesagt zunächst, warum $\psi(n+1)=\psi(n)+\psi(1)$ gilt. Und irgendwo musst du wohl die Induktionsvoraussetzung $\psi(n)=n$ ins Spiel bringen... ─ tobit 27.09.2022 um 18:28
Dachte das habe ich? ─ mfieok0 26.09.2022 um 00:24