Konvergenz von Teilfolgen

Aufrufe: 84     Aktiv: 15.11.2021 um 21:04

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kann mir jemand einen Gedankenstoß für diese Aufgabe geben?

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Student, Punkte: 109

 
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Sei \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( X \), sodass jede Teilfolge eine Teilfolge besitzt, die gegen \(x\) konvergiert. Betrachte nun Mengen der Form \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon  \} \). Was passiert im Hinblick auf die Teilfolgen von \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \), wenn eine dieser Mengen unendlich viele Elemente besitzt? Leite daraus eine Widerspruch her. Folgere dann, dass die Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( x \) konvergiert.
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Student, Punkte: 6.68K

 

wenn eine dieser mengen unendlich viele Elemente besitzt, so konvergiert sie gegen diesen Punkt?
  ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 18:41

Nein. Wenn die Menge \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) unendlich viele Elemente besitzt, dann gibt es eine Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) von \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \), mit \( n_k \in \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) (es gilt also \( d(x_{n_k},x) \ge \varepsilon \) für alle \( k \in \mathbb{N} \)). Diese Teilfolge enthält dann nach Voraussetzung eine Teilfolge, die gegen \( x \) konvergiert. Kann das sein?   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 19:26

an dieser stelle müsste ja der Widerspruch entstehen... vielleicht weil man kann ja dann eine weitere Teilfolge bilden also d(xnkl,x)>= epsilon (ich kann diese Zeichen leider nicht so darstellen, wie du) und das ist ein Widerspruch? tut mir leid diese Teilfolgen von Teilfolgen verwirren mich etwas
  ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 19:31

Du bist nah dran. \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) besitzt nach Voraussetzung eine Teilfolge, die gegen \( x \) konvergiert. Dazu muss \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) Folgenglieder besitzen, die \(x\) beliebig nahe kommen. Insbesondere muss es ein \( K \) geben mit \( d(x_{n_K},x) < \varepsilon \). Das kann aber nicht sein, weil ja \( d(x_{n_k},x) \ge \varepsilon \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt, also auch \( d(x_{n_K},x) \ge \varepsilon \).   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 19:54

Ich habe bei den Mengen einen kleinen Fehler gemacht und deshalb eine Änderung vorgenommen. So sollte es jetzt passen. Die Idee bleibt natürlich die gleiche.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 19:59

ok dankeschön! noch eine kurze Verständnisfrage... warum wurde die Menge am Anfang so gewählt und nicht < epsilon?   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:01

Das siehst du dann bei der Folgerung. Was folgt denn, wenn \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) für jedes \( \varepsilon > 0 \) endlich ist?   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:04

es sind unendlich viele Elemente der Menge außerhalb der epsilon Umgebung?   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:06

Das kann man so nicht sagen. Die Folgerung ist, dass dann für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, nämlich beispielsweise \( N = 1+ \max\{n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \), sodass \( d(x_n,x) < \varepsilon \) für alle \( n \ge N \) ist. Und das ist ja gerade die Definition dafür, dass \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( x \) konvergiert.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:13

Als kleine technische Anmerkung sollte man noch \( \max \emptyset = 0 \) setzen.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:19

d(xnk,x)≥ε also bis zu diesem Widerspruch konnte ich noch folgen, aber den Rest verstehe ich leider gerade immer noch nicht…
N=1+max{nd(xn,x)≥ε} , sodass d(xn,x)<ε dazu sehe ich gerade keinen Zusammenhang
  ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:23

Naja, wenn \( n \) größer ist als das Maximum von \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \), dann muss ja \( d(x_n,x) < \varepsilon \) sein. Ist das soweit klar?   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:26

Der Widerspruch hat ja gezeigt, dass \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) immer endlich ist. Das sichert die Existenz des Maximums.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:30

Für den Fall, dass \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) leer sein sollte, setzen wir dann einfach \( \max \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} = 0 \), damit alles weiterhin passt.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:32

Warum genau ist das jetzt endlich?   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:32

Wir haben angenommen, dass die Menge unendlich viele Elemente enthält und daraus mithilfe der Teilfolgen einen Widerspruch hergeleitet. D.h. es kann nicht sein, dass die Menge unendlich viele Elemente enthält. Sie muss immer endlich sein.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:34

und der abstand ist dann endlich...? aber wie kommt man dann plötzlich auf das Maximum?   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:42

Ich schreibe nochmal den kompletten Beweis auf, dann werden die einzelnen Schritte hoffentlich deutlicher.

Sei \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( X \), sodass jede Teilfolge eine Teilfolge besitzt, die gegen \(x\) konvergiert.

Dann muss die Menge \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) für alle \( \varepsilon > 0 \) endlich sein,
denn: Wenn \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) für ein \( \varepsilon > 0 \) unendlich viele Elemente besitzen würde, dann gäbe es eine Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) von \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( n_k \in \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) (es gilt also \( d(x_{n_k},x) \ge \varepsilon \) für alle \(k \in \mathbb{N}\)). Nach Voraussetzung muss nun aber die Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) eine Teilfolge besitzen, die gegen \( x \) konvergiert. Dazu muss \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) Folgenglieder haben, die beliebig nahe bei \( x \) liegen. Insbesondere gibt es ein \( K \) mit \( d(x_{n_K},x) < \varepsilon \). Andererseits gilt jedoch \( d(x_{n_k},x) \ge \varepsilon \) für alle \(k \in \mathbb{N}\) und somit auch \( d(x_{n_K},x) \ge \varepsilon \). Widerspruch.

Da die Menge \( \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \) endlich ist, existiert nun auch \( \max \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \), wobei wir \( \max \emptyset = 0 \) setzen.

Somit gibt es für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \), nämlich beispielsweise \( N = 1 + \max \{ n \ \vert \ d(x_n,x) \ge \varepsilon \} \), mit \( d(x_n,x) < \varepsilon \) für alle \(n \ge N \).

Dies zeigt die Konvergenz der Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \(x\).
  ─   anonym83bed 15.11.2021 um 20:54

danke danke danke danke danke wirklcih tausend dank!!! jetzt sehe ich endlich den Zusammenhang, ich hatte mir das auch schon zusammengeschrieben, aber an einer stelle ist mir ein Fehler unterlaufen. DANKE!!!!   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 20:57

Sehr gerne :) Freut mich, wenn jetzt alles klar ist.   ─   anonym83bed 15.11.2021 um 21:01

ja das war sehr sehr hilfreich! ich hätte das so niemals hinbekommen   ─   anonymf76f7 15.11.2021 um 21:04

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