Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$, das ist eigentlich alles, was man speziell bei $e$-Funktionen wissen muss. Der Rest ist einfach Anwendung von Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Ich rechne mal die erste Aufgabe vor: \begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\overset{\text{Produktregel}}=\left(\frac{\partial}{\partial x}x\right)\cdot e^{xy}+x\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}\overset{\text{Kettenregel}}=1\cdot e^{xy}+xe^{xy}\frac{\partial}{\partial x}(xy)=e^{xy}+xe^{xy}y=(1+xy)e^{xy},\\&\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}\overset{\text{Kettenregel}}=xe^{xy}\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x^2e^{xy}.\end{align}