Hallo zusammen, meine Frage bezieht sich auf obige Aufgabe. Als Eigenwerte bekommt man \( \lambda_{1} = 1 - \epsilon \) und \( \lambda_{2} = 1 + \epsilon \). Um nun die dazugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen müssen die Eigenräume ermittelt werden:

\( E_{A}(\lambda_{1}) = Kern(A_{\epsilon} - \lambda_{1}*I_{2}) \)

\( E_{A}(\lambda_{2}) = Kern(A_{\epsilon} - \lambda_{2}*I_{2}) \)

Weiter ist jetzt eine Fallunterscheidung nötig:

1) \( 1 + cos(\frac{2}{\epsilon}) = 0 \)

     Damit folgt dass auch \( sin(\frac{2}{\epsilon}) = 0 \)

     Die Eigenräume dazu sind einfach zu ermitteln und klar soweit.

2) \( 1 + cos(\frac{2}{\epsilon}) \neq 0 \)

     In diesem Fall wird in der Musterlösung zum ermitteln des Kerns zuerst die erste bzw zweite Zeile der ersten bzw zweiten Matrix

     mit \( \frac{1}{1+cos(\frac{2}{\epsilon})} \) multipliziert:

      Hierbei ist mir der zweite Schritt nicht klar. Angenommen in diesem Fall wurde \( 1 + cos(\frac{2}{\epsilon}) \neq 0 \), das bedeutet doch aber nicht dass

      \( sin(\frac{2}{\epsilon}) \) nicht \(0\) sein kann:

      Ist z.B. \(\epsilon = \frac{1}{\pi}\), dann ist \( sin(\frac{2}{\epsilon}) = 0 \) und \( 1 + cos(\frac{2}{\epsilon}) = 2\), widerspricht also nicht der Fallannahme.

      Trotzdem wird in der Musterlösung einfach eine Zeile mit \( sin(\frac{2}{\epsilon})\), d.h. mit einer Zahl die \(0\) sein kann, multipliziert. Und das würde doch Lösungen verfälschen?

Hab ich da irgendwo ein Denkfehler drin?