Relationen in C

Aufrufe: 63     Aktiv: 24.11.2022 um 11:37

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Hallo,
ich versuche zu widerlegen, dass für zwei komplexe Zahlen a und b genau eine der Relationen a>b, a=b, a<b gilt.

Setze a=i und b=0

a>b
i>0 |*i
i²>0
-1>0 |*i
-i>0 |*(-1)
i<0
a<b
-> Widerspruch (Ich bin mir unsicher, ob das stimmt, weil in der 4. Zeile steht, dass -1>0 und dann drehe ich trotzdem in der 6. Zeile das Größer-Zeichen um...)

Setze a=i und b=1

a=b
i=1 |*i
i²=i
-1=i
i=-1
a=-b
-> Widerspruch (Macht es Sinn, die Gleichheit zu widerlegen)

Setze a=i und b=0

a<b
i<0 |*i
i²<0
-1<0 |*i
-i<0 |*(-1)
i>0
a>b
-> Widerspruch (Ich drehe in der 3. Zeile das Kleiner-Zeichen nicht um, obwohl ich mit i multipliziere, was laut 2. Zeile negativ ist...) 

Ich wäre sehr dankbar über eine Nachricht, ob meine Beweise stimmen oder nicht.

Lg
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Student, Punkte: 21

 
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1 Antwort
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Du darfst hier nicht jeden Fall so wechseln. Ich gebe dir eine Idee:
Zeige zuerst, dass in einem angeordnetem Körper stets \(a^2\geq 0\) gilt. Hieraus folgt \(1=1^2 \geq 0\). Jetzt schaue mal \(i \in \mathbb{C}\) an
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Student, Punkte: 10.12K

 

Dass das Quadrat aus zwei reellen Zahlen stets positiv ist, habe ich schon einmal bewiesen. Aus den Anordnungsaxiomen würde folgen, dass i²>=0. Weil aber laut Definition in den komplexen Zahlen i²=-1 ist, ist i²<0. Ich weiß nicht, wie ich das für meine Beweise vernünftig verwenden soll.   ─   an. ni. 23.11.2022 um 19:33

"in einem angeordneten Körper" gilt ... Wenn du annimmst, dass $\mathbb{C}$ ein solcher Körper ist, hast du damit doch deinen Widerspruch.   ─   cauchy 23.11.2022 um 19:37

Wie kann ich den Widerspruch bei a>b anwenden?   ─   an. ni. 23.11.2022 um 20:01

Brauchst du doch nicht mehr, wenn du gezeigt hast, dass $\mathbb{C}$ KEIN angeordneter Körper ist.   ─   cauchy 23.11.2022 um 20:10

Ok danke!   ─   an. ni. 24.11.2022 um 11:36

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