Moin,
bei solchen Gleichungssystemen kann man oft viel mit Symmetrie arbeiten. versuch mit den beiden ähnlichen ersten anzufangen und irgendwie zu faktorisieren.
ACHTUNG SPOILER (VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG):





Ziehe zunächst \(L_x \) von \(L_y\) ab: \(2 \lambda(y-x)+2(y-x)+\lambda(y-x)=0\) daraus folgt: \(x=y\) oder \(\lambda=-\frac{2}{3}\)
Beim einsetzen in \(L_{\lambda}\) ergibt das \(x=y=+-\frac{\sqrt{3}}{3}\) und \(\lambda=+- \frac{2}{3}\), du hast deine ersten 4 Lösungen. Nun kann man \(L_x\) und \(L_y\) noch addieren. Nach ähnlichem ausklammern wie oben erhält man \(x=-y\). Wenn man das nun wieder in die 3. Gleichung einsetzt erhält man: \(x=-y=+-1\) und \(\lambda=-2\)
\(\Rightarrow (x,y,\lambda)=(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2}{3}),(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2}{3}),(1,-1,-2),(-1,1,-2)\)
LG