Wie einfach die Antwort dafür ist, hängt von deinem Wissen in Linearer Algebra ab.
Eine einfache Art, die Lösung zu sehen, ist zu erkennen, dass $x_1$ und $x_2$ eindeutig bestimmt sind, sobald du einen Wert für $x_3$ hast. Damit eine ganze Gerade als Lösungsmenge herauskommt, muss $x_3$ also unbestimmt bleiben. Das ist genau dann der Fall, wenn die dritte Gleichung die Form $0=0$ hat, was genau für $c=1$ der Fall ist.