Matrix L.A.

Aufrufe: 120     Aktiv: 27.11.2023 um 20:52

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Ich soll alle reellen Matrizen A mit Spalten (a,c) und (b,d) bestimmen, die die Eigenschaft A^2 = I, erfüllen. (I ist die Identität/ Einheitsmatrix).

Ich habe A^2 berechnet und dann vier Gleichungen gebildet:
a^2 + bc = 1
bc + d^2 = 1
ab + bd = 0
ac + cd = 0

Hier habe ich dann III genommen: 
ab + bd = 0
=> b (a + d) = 0

Jetzt gibt es ja zwei Fälle:
1. F: a + d = 0 => b = 0 => a = +1 oder -1, d = a und c = 0. Daraus hat man schon zwei Matrizen die dies erfüllen.

Meinw Frage ist bei Fall 2:
Jetzt muss ja a + d = 0 gelten.
In dem Falle stände ja: b * 0 = 0 und b wäre beliebig. Wie gehe ich dann vor um die restlichen zu finden. Könnt ihr mir da helfen, indem ihr mir zeigt, wo ich was einsetzen muss etc...
Danke schonmal
LG
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Ich habe jetzt das Gleichungssystem aufgrund Zeitmangels nicht überprüft, vielleicht kann da ein Helferkollege der Zeit hat nochmal nachrechnen. Du brauchst keine Fallunterscheidung, alles was du aus $ab+bd=0$ erhältst ist eben halt nicht $a=d$ sondern $a=-d$. Rechne es nach. Somit ersetzt du in allen übrigen Gleichungen $a$ durch $-d$ und erhältst dann ein GLS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, was du auf die gleiche Weise weiterbearbeitest. Lade gerne deinen Fortschritt hoch ("Frage bearbeiten") dann sehen wir weiter.
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Ich hab jetzt ja a = -d angenommen, daher ist die III. Gleichung ja b (a + d) = 0, also b * 0 = 0 & b ist ja beliebig.

Wenn man jetzt a = -d einsetzt, kommt man auf:
-d^2 + bc = 1
d^2 + bc = 1
-db + db = 0
-dc + dc = 0

Wie komme ich jetzt da auf die restlichen Lösungen. Also durch die IV. Gleichung, müsste ja c auch beliebig sein, oder mache ich hier grad alles falsch?
  ─   user88de87 27.11.2023 um 11:30

An dieser Stelle bin ich mir nicht sicher ob dein GLS stimmt. Hab noch keine Zeit gefunden es zu überprüfen. Gleichung 3 ergab $a=-d$. Nach dem Ersetzen entfällt die dritte Gleichung und man rechnet mit den übrigen weiter.   ─   maqu 27.11.2023 um 13:54

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Fall 1: \(a+d=0\).
Hier bleibt nur eine Gleichung bestehen: \(a^2+bc=1\)
Hier muss man wieder zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1.1: \(a^2=1\) : Hier gilt \(bc=0\). Also \(b=0\) oder \(c=0\).
Fall 1.2 \(a^2\not = 1\): Dann hat man \(bc=1-a^2\). Also:
  • a beliebig,
  • \(b\not=0\), ansonsten beliebig
  • \(\displaystyle c=\frac{1-a^2}{b}\)
  • \(d=-a\)
Fall 2: Im Falle von \(a+d\not =0\) gilt b=c=0, also \(a^2=1\) und \(d^2=1\), also
  • a=d=1
  • oder a=d=-1


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