Guten Tag,

ich bin gerade sehr verwundert:
also da ich $z_1$  und $z_2$ in polar form schreiben soll, fange ich erstmal mit $z_1$ an bevor ich $z_2$ anfange.



Also ich schreibe hier mal meine 2 Ideen hin, was komplett daneben liegen kann aber man soll ja wenigstens versuchen bevor man hilfe hier bekommt: 

Als aller erstes fange ich an z1 in polar form zu schreiben, bevor ich schau das der Betrag r positiv ist, Also:

$z_1 = -2[cos( \frac {π} {4})+isin(\frac {π} {4})]$ .

Das was mich hier wundert ist, wieso steht überhaupt vor der Komplexen Exponential form ein negativer Betrag?

Also ein Betrag kann nur negativ sein wenn es mit der dritten Wurzel genommen worden ist. Das bedeutet doch das die Exponentiale  Form  $-e^{ - \frac {π} {4} i } $ 3 Lösungen hat?

lassen wir $z^{3} = -8 $ So ich weiß das, dass mein Ausdruck 45° ist, also ich würde sagen die 180° - 45°, das wären dann 135°,

Also sage ich das mein Argument (135°) sind. 

Als nächstes behaupte ich ich das 3 * alpha = 135° + k * 360° siehe dazu mein Beitrag auf Mathefragen an: https://www.mathefragen.de/frage/q/908150393f/komplexe-zahlen-3-losungen/

wobei k natürliche zahlen k = {1, 2, 3...} sind.

Es gibt hier nur 3 Lösungen, also wenn

k = 0, k = 1, k = 3 ist,  also dann ist 

k = 0

3 * alpha = 135° + 0 * 360°

alpha = 45°

k = 1 ist, 

3 * alpha = 225 + 1 * 360

Keine Ahnung wie ich das weiter berechnen würde aber es scheint mir ich würde auf ein positiven Wert kommen.

Idee 2:

ich weiß das ich ein Winkel $\frac {π} {4}$ habe und ein Betrag von -2 habe, das heißt π/4  der positive betrag muss bei
$\frac {π} {4}$ + $π$ liegen. das bedeutet also

$z_1 = 2e^{5π/4}$  

Und welche Idee ist näher zu einer sinnvolen Lösung?

EDIT vom 22.10.2023 um 14:18:

Neuer edit: