0

Aufgabenstellung:

Rechnung:

Problem:
Irgendwie erscheint mir der Fehler viel zu klein. Bin mir außerdem auch unsicher ob ich da einfach $\frac{1}{10}$ einsetzen darf. War aber der einzige Weg den ich jetzt gesehen hab. Das mit der "Schranke für den Fehler" verstehe ich auch ich ganz. Muss ich da jetzt den Fehler auch nach unten abschätzen?

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 35

 

Nochmal in schöner.

\begin{equation}
\begin{array}{lll}
f(x)=3 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+3 x-5 & f(x)=0 \quad \\
f^{\prime}(x)=12 x^{3}-6 x^{2}+x+3 & f^{\prime}\left(x_{0}\right)=10 \\
f^{\prime \prime}(x)=36 x^{2}-72 x+1 & f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=25 \\
f^{\prime \prime \prime }(x)=52 x-12 & \\

T_{2}\left(x, x_{0}\right)=\sum_{k=0}^{2} \frac{f^{(k)}(a)}{h !}(x-a)^{k}\\

T_{2}(x, 1)=0+10(x-1)+\frac{25}{2 !}(x-1)^{2} \\

T_{2}(x, 1)=10 x-10+12,5(x-1)^{2} \\\\

\left|f(x)-T_{2}(x, 1)\right|= \left|\frac{f^{2}(\xi)}{3 !} \cdot(x-1)^{3} \right| \leq M_{n} \frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1) !} \leq \frac{{\frac{1}{10}^3}}{3 !}=\frac{1}{6000}
\end{array}
\end{equation}
  ─   user89b235 21.03.2022 um 16:37
Kommentar schreiben
1 Antwort
-1
In der 1. Ableitung ist ein Fehler.
In Restgliedformel auch (richtig abschreiben!).
Es geht darum, das Restglied nach oben abzuschätzen.
Die Schranke fällt bei Dir einfach so vom Himmel, keine Erklärung, keine Begründung. Bei einer Abschätzung überlegt man sich genau(!) wie groß die einzelnen Terme werden können, und notiert die Begründung dazu.
Da sollte auch erstmal die $x0,n$ eingesetzt werden und die Beträge verteilt auf die Terme. Und das Weglassen von $M_n$ (was das ist, steht nirgendwo, ebenso fehlen Angaben zum $x$) geht natürlich gar nicht.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 23.96K

 

Hab jetzt die erste Ableitungen korrigiert. Ändern sich ja nur die beiden 10en zu 11 im Taylorpolynom. Aber was die Abschätzung angeht, soll ich dann $\left| \frac{52\xi-12}{6}\cdot (x-1)^3 \right|$ bzw. $\left| \frac{52\xi-12}{6}\cdot \frac{1}{10}^3 \right|$ evaluieren?   ─   user89b235 21.03.2022 um 17:18

Evaluieren trifft es hier nicht ganz, nach oben abschätzen (siehe Erläuterung in meiner Antwort).   ─   mikn 21.03.2022 um 17:23

Also wenn ich dann versuche die einzelnen Faktoren abzuschätzen komme ich nicht wirklich weiter. $\left| \frac{52\xi-12}{6} \right|$ kann ja für $\xi\rightarrow\infty$ unendlich groß werden. Und $|(x-3)^3|$ mit der Bedingung aus der Aufgabenstellung ist ja mit $\frac{1}{10}^3$ am größten. Also was machen ich jetzt mit dem $\xi$? Oder ist das auch wieder falsch.   ─   user89b235 21.03.2022 um 17:43

Du hast die Restgliedformel eben nicht vollständig abgeschrieben. Dazu gehören auch die Angaben zu den Größen, auch zu $\xi$ gehört. Also?   ─   mikn 21.03.2022 um 17:47

Ich hab jetzt in drei verschiedene Bücher geguckt und bin noch unsicherer. Muss jetzt $\xi \in (0,1)$ gelten? Oder nimmt man einfach einen Wert wo gilt $\xi \leq x_0$?   ─   user89b235 21.03.2022 um 18:31

Was steht in Deinen Unterlagen über $\xi$? Das muss man doch nicht raten und dazu braucht man auch nicht mehrere Bücher. Es steht da, wo Du auch das Restglied abgeschrieben hast - und schreib diesmal gleich richtig ab.   ─   mikn 21.03.2022 um 18:37

Ich hab eine Übungsaufgabe mit Musterlösung als „Unterlage“. Nur die verwirrt mich noch mehr. Ich glaub ich lass das aber auch Ruhen das Thema. Danke für die Hilfe   ─   user89b235 21.03.2022 um 18:43

Schönes Beispiel, dass man aus Musterlösungen nicht unbedingt was lernt. Was hindert Dich in der Vorlesungsmitschrift nachzuschlagen? Wenn Du das machst (Tipp für's nächste Mal: Tu das als erstes(!), wenn Du zügig durchkommen willst), dann bist Du schnell fertig.   ─   mikn 21.03.2022 um 18:54

Netter Tipp. Ich nutze ja schon eine Übungsaufgabe weil das gesamte Thema mit Fehlerabschätzung nichtmal in den Folien vorkommt. Auch nicht in der Vorlesung selber (Video). Ich bin ja eigentlich Autodidakt aber irgendwann hört das auch auf. In ihrem Buch (Vorkurs Mathematik) machen sie das sehr gut mit ihren Erklärungen, nur ist das etwas zu klein-schrittig und nicht zielführend gewesen gerade.   ─   user89b235 21.03.2022 um 18:57

Zu Deiner Veranstaltung kann ich nichts sagen. Man findet auch alles im Internet.
"zu kleinschrittig"? Naja, vielleicht siehst Du später, dass es nicht hilfreich ist, vermeintliche Kleinigkeiten nicht mitabzuschreiben. Ich mache die Schritte so klein wie ich denke, dass sie für den Frager nötig sind.
In Deinem Fall sind wir beim Problem angekommen, eine Formel richtig und vollständig aus einem Video oder dem Internet abzuschreiben.
  ─   mikn 21.03.2022 um 18:59

$|\xi-1|\leq \frac{1}{10}$. Ich weiß nicht was ich damit anfangen soll.   ─   user89b235 21.03.2022 um 19:09

Das steht da sicher nicht. Ist aber (zufällig?) richtig. Korrektes Vorgehen: abschreiben im Original, dann anpassen an die Situation hier), dann markieren auf der Zahlengeraden um zu sehen, wo $\xi$ liegt. Dann in die Abschätzung der 3. Abl. gehen.   ─   mikn 21.03.2022 um 19:47

Also wäre $\xi$ dann $\frac{11}{10}$?   ─   user89b235 21.03.2022 um 21:26

Sorry, wenn ich wieder mit Details nerve: Im Satz von Taylor steht: ".... gilt für ein $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$". Man kennt das $\xi$ also nicht, und kann es nicht ausrechnen. Daher das Abschätzen.   ─   mikn 21.03.2022 um 21:30

Kommentar schreiben