Aussage zu einer zyklischen Gruppe

Erste Frage Aufrufe: 204     Aktiv: 09.05.2023 um 08:38

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Hallo ihr Lieben,

Ich habe hier eine Gruppe $G$ und folgendes gebenen:

$$\varphi (d)=|\lbrace m \in \mathbb{N} \vert 1 \leq m \leq d , \operatorname{ggT}(a,d)=1 \rbrace|$$

$$\psi (d)= |\lbrace m \in G \vert \operatorname{ord}(m)=d \rbrace|$$


Dazu ist Aussage: Ist $\varphi (|G|)=\psi(|G|) >0$, dann ist G zyklisch.

Ich habe Schwierigkeiten diese Aussage nachzuvollziehen. Wir haben jetzt mindestens ein Element $m$ mit $ord(m)=|G|$ und dieses m ist teilerfremd zu $|G|$. In unserer VL haben wir gesagt, dass eine Gruppe zyklisch ist, wenn sie von der Form $G= \{a^k|k \in \mathbb{Z} \}$ ist. Jetzt verstehe ich nicht ganz, wie ich die obrige Aussage mit der Definiton zusammenbringen kann.

Ich hoffen, jemand kann mir da weiterhelfen und freue mich über jede Form der Hilfe.

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Hallo, wenn es Element \(m\) mit \(ord(m)=|G|\) gibt, dann ist die Gruppe zyklisch. Zu zeigen ist hier die Existenz eines solchen Elements
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Falls unklar, warum eine Gruppe zyklisch wenn es Element m mit ord(m)=#G, betrachte \(\{1,m,m^2,m^3,\ldots \}\subseteq G\)   ─   mathejean 09.05.2023 um 08:38

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