Waagerechte Asymptote bestimmen

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Wie bestimme ich eine waagerechte/senkrechte Asymptote?

gefragt 10 Monate, 2 Wochen her
ZidaneMalDurch
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1 Antwort
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Hallo,

eine waagerechte Asymptote entsteht, wenn die Funktion im unendlichen gegen einen kostanten Wert strebt. 

Eine senkrechte Asymptote entsteht bei einer Asymptote. 

Gucken wir uns mal die Funktion

$$ f(x) = \frac {x+1} {x} $$

an. Betrachten wir die Grenzwerte dieser Funktion

$$ \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $$

dann sehen wir das sich diese immer mehr der \( 1 \) annähert. Also hat die Funktion die waagerechte Asymptote

$$ y = 1 $$

Wir haben eine Definitionslücke bei \( x=0 \). Bei einer Definitionslücke strebt der Funktionswert beim annähern an diese Lücke gegen unendlich. Wir haben hier also eine senkrechte Asymptote 

$$ x = 0 $$ 

Ich habe dir die Funktion nochmal visualisiert:

Bei senkrechten Asymptoten musst du aufpassen, das die Nullstellen des Nenners auch wirklich Definitionslücken sind. Wenn eine Nullstelle gleich oft oder häufiger eine Nullstelle des Zählers ist als des Nenners, dann ist dort keine Definitionslücke zu finden. 

Beispielssweise die Funktion

$$ f(x) = \frac {x^2 -9} {x+3} $$

hat bei \( x= -3 \) keine Definitionslücke, denn

$$ \frac {x^2 -9} {x+3} = \frac {(x+3)(x-3)} {x+3} = x-3 $$

Die Nullstelle \( x=-3 \) ist sowohl einfache Nullstelle des Nenners, als auch des Zählers. Somit kürzt sie sich heraus und wir haben eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Dort findet sich keine Asymptote

Grüße Christian

geantwortet 10 Monate, 2 Wochen her
christian_strack
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Vielen Dank! :))   ─   ZidaneMalDurch 10 Monate, 2 Wochen her
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