Wie rechnet man mit irrationalen Exponenten?

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Hallo, ich bin Julius und habe mich gefragt, wieman mit irratonalen Exponenten agiert.
Wenn ich zumbeispiel 1^-pi habe. Mein Lösungsansatz wäre zusagen, dasses 2 lösungen gäbe: 1 oder unmöglich, wegen negativer Wurzel. Da ich mich mit diesen Fragen auskenne frage ich lieber mal nach.

Danke fürs lesen meiner Frage (:
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Dein Beispiel ist ungünstig gewählt :D. 1^a ist immer 1.
Das mit dem Minus verwechselst du aber. Wenn der Radikand (also das in der Wurzel) negativ ist, dann spielt es durchaus eine Rolle was der Exponent ist. Bei geraden Exponenten hätten wir dann (im reellen) ein Problem. Bei ungeraden Exponenten kommt es auf die Definition an (das ist nicht einheitlich) (und für irrationale Zahlen gehe ich wieder von einer Definitionsfrage aus).

Ansonsten gelten für irrationale Exponenten einer Potenz die Potenzregeln wie gewohnt.

Wenn du darauf hinauswillst, dass es mehrere Lösungen gibt beachte, dass eine Zahl immer nur eine "Lösung" hat. So kann man bspw \(\sqrt 4 = 2\) schreiben, es ist aber nie \(\sqrt 4 = -2\) auch wenn \(x^2 = 4\) mit \(x = -2\) und \(x = 2\) gelöst werden kann.

Ich nehme also an, deine eigentliche Fragestellung sollte lauten, wie viele Lösungen die Gleichung \(x^{\pi} = a\) hat, wobei \( a\neq 0; 1\)?
Hier würde ich sagen es gibt so viele Lösungen, wie der Exponent groß ist, wobei auf die nächste natürliche Zahl aufgerundet wird. Das ist aber nur aus dem Bauch heraus und ließe sich vllt mit einer Expedition in die komplexe Darstellung auch zeigen ;).

Hilft das schon weiter? Vllt hat sonst noch wer eine Idee.
  ─   orthando vor 4 Tagen, 14 Stunden

Danke für deine Antwort. Ich denke das ergibt Sinn, was du gescjrieben hast. (;   ─   julius.walz vor 4 Tagen, 14 Stunden
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Solange es um Wurzeln im Reellen geht, kann man Wurzeln widerspruchsfrei nur für nichtnegative Radikanden ziehen, und die Wurzel selbst ist ebenfalls nicht negativ. Also ist \(1^{\pi}=1\). Siehe auch Lernplaylist Grundkurs Mathematik Wurzeln im Reellen.
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