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Solange es um Wurzeln im Reellen geht, kann man Wurzeln widerspruchsfrei nur für nichtnegative Radikanden ziehen, und die Wurzel selbst ist ebenfalls nicht negativ. Also ist \(1^{\pi}=1\). Siehe auch Lernplaylist Grundkurs Mathematik Wurzeln im Reellen.
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professorrs
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Das mit dem Minus verwechselst du aber. Wenn der Radikand (also das in der Wurzel) negativ ist, dann spielt es durchaus eine Rolle was der Exponent ist. Bei geraden Exponenten hätten wir dann (im reellen) ein Problem. Bei ungeraden Exponenten kommt es auf die Definition an (das ist nicht einheitlich) (und für irrationale Zahlen gehe ich wieder von einer Definitionsfrage aus).
Ansonsten gelten für irrationale Exponenten einer Potenz die Potenzregeln wie gewohnt.
Wenn du darauf hinauswillst, dass es mehrere Lösungen gibt beachte, dass eine Zahl immer nur eine "Lösung" hat. So kann man bspw \(\sqrt 4 = 2\) schreiben, es ist aber nie \(\sqrt 4 = -2\) auch wenn \(x^2 = 4\) mit \(x = -2\) und \(x = 2\) gelöst werden kann.
Ich nehme also an, deine eigentliche Fragestellung sollte lauten, wie viele Lösungen die Gleichung \(x^{\pi} = a\) hat, wobei \( a\neq 0; 1\)?
Hier würde ich sagen es gibt so viele Lösungen, wie der Exponent groß ist, wobei auf die nächste natürliche Zahl aufgerundet wird. Das ist aber nur aus dem Bauch heraus und ließe sich vllt mit einer Expedition in die komplexe Darstellung auch zeigen ;).
Hilft das schon weiter? Vllt hat sonst noch wer eine Idee. ─ orthando 21.07.2021 um 15:46