\(a_{n+1} = \frac {1}{2} \cdot \left(a_n+\frac{x}{a_n}\right) \)

Ich stehe grad gewaltig auf dem Schlauch. Ich habe bewiesen, dass die Folge nach unten beschränkt ist, nämlich für alle \(n\geq 1\) gilt: \(a_n \geq \sqrt{x} \). Außerdem hab ich bewiesen, dass die Folge monoton fallend ist, also \(a_{n+1} \leq a_n \). Im letzten Schritt möchte ich beweisen, dass die Folge gegen \( \sqrt{x} \) konvergiert. Klar ist, dass eine nach unten beschränkte und monoton fallende Folge konvergiert. Ich weiß, dass gilt \( \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} a_{n+1} \), aber wie zeige ich, dass der Grenzwert \( \sqrt{x} \) ist?