Konvergenz Babylonisches Wurzelziehen

Aufrufe: 49     Aktiv: 21.04.2021 um 17:20

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\(a_{n+1} = \frac {1}{2} \cdot \left(a_n+\frac{x}{a_n}\right) \)

Ich stehe grad gewaltig auf dem Schlauch. Ich habe bewiesen, dass die Folge nach unten beschränkt ist, nämlich für alle \(n\geq 1\) gilt: \(a_n \geq \sqrt{x} \). Außerdem hab ich bewiesen, dass die Folge monoton fallend ist, also \(a_{n+1} \leq a_n \). Im letzten Schritt möchte ich beweisen, dass die Folge gegen \( \sqrt{x} \) konvergiert. Klar ist, dass eine nach unten beschränkte und monoton fallende Folge konvergiert. Ich weiß, dass gilt \( \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} a_{n+1} \), aber wie zeige ich, dass der Grenzwert \( \sqrt{x} \) ist?
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Nennen wir den Grenzwert \(a\). Der Trick ist, von beiden Seiten der Gleichung den Limes zu nehmen. Dann erhälst du $$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)=\frac12\left(a+\frac xa\right)$$ und diese Gleichung kannst du jetzt einfach nach \(a\) umstellen. Beachte, dass das nur funktioniert, weil du schon weißt, dass die Folge konvergiert, die Untersuchung mit monoton fallend und beschränkt war also wichtig.
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