Es sind lediglich die Summanden vertauscht wurden, warum weiß ich nicht. Dadurch sind die Ableitungen auch falsch (Vorzeichenfehler). Es wird der zweite Term $-2ax^2$ nach dem ableiten zu $-4ax$. Weiter wird $a^2x$ nach dem ableiten nicht zu $-a^2$, sondern ... ? Die Verwirrung und der Fehler in den Ableitungen kommt also durch das vertauschen der hinteren beiden Terme.

Achte darauf das hier nach $x$ abgeleitet wird. Die Variable $a$ wird wir eine normale Zahl beim ableiten behandelt, weshalb beim ableiten von $4a$ der Term auch verschwindet.

Wie müssten also die richtigen ersten beiden Ableitungen dann lauten?

Das x ist eine Variable und das a ein Parameter. Das ist also ein Unterschied.
Wenn man sich so eine Funktion anschaut, kann man sich am Anfang ein a auswählen und hält dass dann für die Anschauung fest. Die Variable x hingegen variiert bei der Anschauung und man kann sich bspw. bestimmte Funktionswerte y für bestimmte Stellen x anschauen.

Für die Betrachtung wird a bei der allgemeinen Anschauung also letztlich als konstant betrachtet und fällt daher beim Ableiten nach x weg.

Also knackigen Merksatz Parameter vs Variable: Parameter werden einmal gewählt und bleiben dann fest. Variablen sind immer frei wählbar.

Du hast noch einen Vorzeichenfehler in der ersten Ableitung. Hier ist es +a².