Rekursion auflösen

Aufrufe: 165     Aktiv: 11.01.2024 um 17:59

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Hi, ich bin grad ziemlich am verzweifeln. Ich hab die Aufgabe die verwendet werden sol auch einfach mal angehängt. Ich hab das jetzt in die entsprechende Form gebracht /die Matrix aufgestellt und derer Eigenwertzerlegung berechnet, bin mir jetzt aber unklar wie es weitergehen soll. Danke im Voraus
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Es ist, wie man durch vollständige Induktionj leicht zeigt,
\(\left(\begin{array}{c}  a_n \\ b_n \end{array}\right) = A^n \left(\begin{array}{c} a_0 \\ b_0 \end{array}\right) \)
wobei
\(A = \left(\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 6 & 12 \end{array}\right)\).
Wenn \(A=V\,\mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\,V^{-1}\) die Eigenwert-/Eigenvektorzerlegung von A ist, dann hat man laut Aufgabe 1): \(A^n = V\,\mbox{diag} (\lambda_1^n, \lambda_2^n) \, V^{-1}\) .
Daraus folgt:
\(\left(\begin{array}{c}  a_n \\ b_n \end{array}\right) = V \,\mbox{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n)  \, V^{-1} \left(\begin{array}{c} a_0 \\ b_0 \end{array}\right) \)
Dann kannst Du zunächst \(\left(\begin{array}{c} c_0 \\ d_0 \end{array}\right) =  V^{-1} \left(\begin{array}{c} a_0 \\ b_0 \end{array}\right)  \) konkret ausrechnen.
Dann gilt
\(\mbox{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n)  V^{-1} \left(\begin{array}{c} a_0 \\ b_0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \lambda_1^n c_0 \\ \lambda_2^n  d_0 \end{array}\right)\).
Durch Multiplikation mit V von links ergibt sich
\(\left(\begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array}\right) = V \left(\begin{array}{c} \lambda_1^n c_0 \\ \lambda_2^n  d_0 \end{array}\right)\).

Hier nun die konkreten V, \( \lambda_1\), \( \lambda_2\), \(c_0\) und \(d_0\) einsetzen. Dann hat Du eine geschlossen Formel für \(a_n\) und \(b_n\) .
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