Da Du nur 2 Variablen hast, kannst Du die Eckpunkte graphisch ermitteln. Dazu kann man jede Ungleichung in der Ebene durch verschiedene Schraffuren darstellen. Die Fläche, die alle vier Schraffuren besitzt, ergibt dann den zulässigen Bereich. Der hat eine endlich Anzahl von Ecken, und Du musst nur noch prüfen, welche der Punkte A,B,C,D Eckpunkte dieser Fläche sind.

Die Ungleichungen \(x_1\ge 0\) und \(x_2 \ge 0\) zu schraffieren ist sicherlich einfach.

Um die anderen Ungleichungen zu schraffieren, sollte man diese zuerst nach \(x_2\) umstellen.
Dann ersetze man das Ungleichheitszeichen ("\(\ge\)" oder "\(\le\)") durch ein "=", und zeichne diese Gerade.
Dann schraffiere man alles
- oberhalb dieser Geraden, wenn das Ungleichheitszeichen ein  "\(\ge\)" war
- unterhalb dieser Geraden, wenn das Ungleichheitszeichen ein  "\(\le\)" war

Beispiel: Schraffieren von \(x_1-x_2\le 1\)
Umstellen nach \(x_2\):  
    \(x_1-x_2\le 1  \;\Longleftrightarrow \;-x_2\le 1-x_1 \;\Longleftrightarrow \;x_2\ge x_1-1\)
Nun die Gerade
   \(g: x_2=x_1-1\)
zeichnen, und alles oberhalb g schraffieren.

Man kann eine solche Aufgabe auch rechnerisch lösen. Wenn Du diese Aufgabe rechnerischlösen musst, bitte nochmal melden.

Ok, dann bitte erstmal prüfen, ob in Deinen Unterlagen nicht irgendeine Definition steht, was ein Eckpunkt ist.
Falls ja => Prüfe für jeden Punkt, ob diese Definition gilt.

Falls nein, so kann man wie folgt prüfen, ob ein Punkt X ein Eckpunkt ist:
Prüfe, ob X alle Ungleichungen erfüllt. Falls nein => Kein Eckpunkt.
Falls ja: Ersetze in den Ungleichungen alle Ungleichheitszeichen durch Gleichheitszeichen.
Werfe von diesen Gleichungen alle Gleichungen fort, die für den Punkt X nicht gelten.
Sollte keine Gleichung gelten => Kein Eckpunkt.
Ansonsten: Die verbleibenden Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, und der Punkt X ist eine Lösung davon.
Wenn der Punkt X die einzige Lösung ist, dann ist X ein Eckpunkt, ansonsten ist X kein Eckpunkt.

Beispiel Punkt B: Dann ist \(x_1=1,\;x_2=2\).
Setze ich diese Werte in die vier Ungleichungen ein, erhalte ich vier wahre Ungleichungen.
Nun ersetze ich in den Ungleichungen alle Ungleichheitszeichen durch Gleichheitszeichen und erhalte:
\(x_1+x_2=3\),  \(x_1-x_2=1\),  \(x_1=0\),  \(x_2=0\).
Die einzig richtige Gleichung ist: \(x_1+x_2=3\).
Dieses Gleichungs-"system" hat neben B noch weitere Lösungen, z.B. \(x_1=3,\;x_2=0\).
Also ist B kein Eckpunkt.