Vereinfachung von Summen

Aufrufe: 39     Aktiv: 01.06.2021 um 16:34

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Okay habe dann doch noch eine Aufgabe gefunden, wo ich den Lösungsweg nicht kenne.
Folgende Summe soll verinfacht werden:

, als Lösung wurde folgendes angegeben: .

Die Summanden aufzuschreiben und zu berechnen hilft hier scheinbar allein nicht aus, was sonst immer einer der ersten Schritte war.
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2 Antworten
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Das \(a\) hängt weder von \(k\) noch \(j\) ab, das kannst du also vor beide Summen ziehen. Ebenso hängt das \(k^2\) nicht von \(j\) ab, also kannst du das vor die innere Summe ziehen. Dann sind wir schonmal bei \(a\sum_{k=0}^n\left(k^2\sum_{j=1}^mj\right)\) Jetzt hängt die innere Summe auch nicht mehr von \(k\) ab, also kannst du die ganze innere Summe ausklammern und kommst auf \(a\left(\sum_{k=0}^nk^2\right)\left(\sum_{j=1}^mj\right)\) und jetzt musst du nur noch die Formeln für die Summe der ersten \(m\) Zahlen und ersten \(n\) Quadratzahlen einsetzen, die du hoffentlich kennst.
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Danke für die Erklärung zur Hälfte konnte ich schon alles sehr gut nachvollziehen, aber ein zwei dumme Fragen hätte ich dazu noch:
Woran erkennt man was von was abhängt? Die einfachste Lösung wäre ja, das a weder von k und j abhängt, da a nicht im Index steht? Wie man sieht fehlen mir leider ein wenig die Grundlagen...

Die Formeln für die ersten m Zahlen sind denke ich mal durch den kleinen Gauss zu ermitteln. Damit käme ich ja bei der J Summe auf (m(m+1))/ 2 richtig?

Allerdings verstehe ich noch nicht komplett wie ich den kleinen Gauss auf die Quadratzahlen anwende oder da auf die Formel komme..
  ─   user30007c 01.06.2021 um 16:11

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Behandle zuerst die innere Summe. Es gilt $$\sum_{j=1}^m ak^2j = ak^2 \cdot \sum_{j=1}^m j$$Diese Summe kannst du nun ganz einfach mit der gaußschen Summenformel berechnen. Jetzt zur äußern Summe. Es gilt $$\sum_{k=0}^n \Bigl(ak^2 \cdot \sum_{j=1}^m j \Bigr)=a \cdot \sum_{j=1}^m \Bigl (j\Bigr)\cdot \sum_{k=0}^n k^2$$Hier verwendest du dann \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\)
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Student, Punkte: 3.47K
 

Besten Dank auch hier schonmal, allerdings verstehe ich noch nicht wie du auf die Formel für die Summe von k² kommst, oder ist das eine Art Standart Formel für summierte Quadratzahlen?
Und wieso steht da im Index k=1 und nicht k= 0? Oder ist das im Grunde eh egal, da 0 in dem Fall ja auch wieder 0 ergibt?

Sorry für die blöden Fragen, allerdings hat mich Mathe gelernt, sich nicht auf die eigenen Willkür zu verlassen (also was jetzt zB den Index mit k angeht) und lieber nochmal nachzufragen.
  ─   user30007c 01.06.2021 um 16:20

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Ja, dass ist eine Standartformel. Und wie du richtig erkannt hast, stimmen die Indizes nicht überein, weshalb du einen Indexshift machen musst   ─   mathejean 01.06.2021 um 16:34

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