Kurvendiskusion mit 2 Variablen

Erste Frage Aufrufe: 506     Aktiv: 25.02.2021 um 14:45
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Hallo zusammen,

ich komme gerade bei einer Aufgabe zur Kurvendiskusion von einer Funktion mit 2 Unabhängigen nicht weiter.
Die Aufgabe ist die Funktion

z = f(x,y) = 2x⁴ - 4x² + 2y³ - 9y² + 3

nach Extrempunkten und Sattelpunkten zu untersuchen. 

Die ersten Ableitungen habe ich bestimmt 

∂z/∂x = 8x³ + 8x      und       ∂z/∂y = 6y² - 18y

Diese habe ich dann 0 gesetzt und bin auf x_1=0 ; x_2=1 ; x_3=-1 ; y_1=0 und y_2=3 gekommen.

Das ist jetzt der Punkt, an dem ich nicht weiter komme. Bisher war es immer so, dass in den ersten Abeitungen sowohl x als auch y enthalten waren und man so einen Zusammenhang zwischen den Variablen hatte. In diesem Fall ist pro Ableitung aber nur eine Variable enthalten. Woher weiß ich jetzt welches x zu welchem y gehört? In die Ausgangsgleichung kann ich es auch nicht einsetzten, weil ich keine Werte für z habe.
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Student, Punkte: 106

 
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1 Antwort
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Hey,

dein Vorgehen ist absolut richtig (auch wenn ich jetzt nicht jeden Rechenschritt überprüft habe).

Alle Kombinationen aus deinen Lösungen \( x_1,x_2,x_3 \) mit den Lösungen \( y_1, y_2 \) sind kritische Punkte deiner Funktion.

Du hast also demzufolge 6 kritische Punkte: \( (0,0), (0,3), (1,0),(1,3),(-1,0),(-1,3) \), denn alle diese Punkte erfüllen die Bedingung, dass der Gradient 0 wird.

Um zu bestimmen, welche Art von Extremum nun vorliegt, musst du die Hesse Matrix deiner Funktion bestimmen. Dafür leitest du die Funktionen deiner 1. Ableitung jeweils nochmal nach x und y ab. Dadurch wirst du feststellen, dass manche Werte der Hesse Matrix 0 werden, was dir direkt beim Ablesen der Art der Extrema helfen sollte.

Falls du hier noch weitere Fragen hast, dann kannst du dich gern melden!

VG
Stefan
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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
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Hallo Stefan, vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Das hilft mir sehr weiter. Ich bin bisher davon ausgegangen, dass es nur 3 Punkte sind und nicht 6. Den Rest dürfte ich jetzt wieder schaffen.   ─   immortal 25.02.2021 um 13:58
Sehr schön, freut mich!   ─   el_stefano 25.02.2021 um 14:45

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