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Hallo,
das erste kann man schnell nachrechnen
$$ E(X) = \int_{\mathbb{R}} x f(x) \ \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} (x-1+1) f(x) \ \mathrm{d}x = -\int_{\mathbb{R}} (1-x) f(x) \ \mathrm{d}x + \underset{=1}{\underbrace{\int_{\mathbb{R}} f(x) \ \mathrm{d}x}} = -E(1-X) +1 $$
Für die zweite Gleichung wird die Umformung gemacht, um zu zeigen, dass
$$ Var(X) = Var(1-X) $$
gilt. Es ist klar, dass
$$ Var(X) = 0 + Var(X) = 0 + (-1)^2 Var(X) $$
gilt. Dann ist die Varianz einer konstanten immer Null, also
$$ Var(c) = 0 $$
und es gilt
$$ Var(aX) = a^2 Var(X) $$
und somit auch
$$ Var( -X) = (-1)^2 Var(X) $$
Also folgt weiterhin
$$ 0 + (-1)^2Var(X) = Var(c) + Var(-X) $$
mit \( c=1 \) erhalten wir den nächsten Schritt.
Den letzten Schritt zu zeigen dauert etwas länger. Man kann es über den Erwartungswert zeigen. Wenn du willst kannst du es ja selbst mal versuchen. Ich gucke gerne nochmal drüber :)
Grüße Christian
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$$ Var(aX+b) = a^2 Var(X) $$
gilt. Aber das ist im Prinzip das was wir hier zeigen wollen. Denn sonst könnten wir einfach für
$$ Var(1-X) $$
einfach \( a= -1 \) und \( b = 1 \) wählen und kämen so auf
$$ Var(1-X) = (-1)^2Var(X) = Var(X) $$
Ich denke aber das ihr diesen Zusammenhang nicht habt, sonst hättet ihr die Umformungen nicht nutzen müssen. Ich wollte dir diesen Zusammenhang nur für die Zukunft mitgeben, da man so viele Varianzberechnungen vereinfachen kann.
Zum Beweis: Mir ist auch noch ein kurzer Beweis eingefallen. Wir wollen zeigen, dass
$$ Var(X+b) = Var(X) $$
ist. Das \(+b \) steht für eine Verschiebung um \( b \). Durch diese Verschiebung wird auch der Erwartungswert verschoben. Für die Varianz gilt nach Definition
$$ Var(X) = E(X- \mu ) $$
Damit gilt aber auch
$$ Var(X+b) = E((X+b) - (\mu +b)) = E(X+b- \mu - b) = E(X- \mu ) = Var(X) $$
$$ Var(aX) = a^2 Var(X) $$
können wir zeigen über
$$ Var(aX) = \int (ax)^2 f(x) \ \mathrm{d}x - ( \int ax f(x) \ \mathrm{d}x)^2 = a^2 \int x^2 f(x) - a^2 (\int x f(x) \ \mathrm{d}x )^2 = a^2 ( \int x^2 f(x) \ \mathrm{d}x - ( \int x f(x) \ \mathrm{d}x )^2 ) = a^2 Var(X) $$
damit gilt dann allgemein
$$ Var(aX+b) = a^2 Var(X) $$
─ christian_strack 21.07.2020 um 12:31
Das kommt ein bisschen auf eure Vorlesung an.
Da hier der Schritt
$$ Var(1) + Var(-x) = Var(1-x) $$
nicht weiter ausgeführt wird, denke ich nicht das ihr das komplett beweisen müsst. Denn dieser Schritt müsste "umständlich" über die Rechenregeln des Integrals gezeigt werden.
Ich denke für die Zukunft kannst du dir
$$ Var(aX+b) = Var(X) $$
merken und anwenden. Im Zweifelsfall frag einmal deinen Professor.
Wenn ihr jetzt aber wirklich nur Dinge nutzen dürft, die in der Vorlesung vorgekommen sind, dann müsstest du das beweisen, wenn es nicht irgendwo im Skript bereits erwähnt wurde. Dann wäre die Musterlösung aber sehr sporadisch und keine wirkliche Musterlösung. ─ christian_strack 21.07.2020 um 14:49
$$ Var(aX+b) = a^2 Var(X) $$
immer gut im Hinterkopf zu behalten ;) ─ christian_strack 21.07.2020 um 11:38