mit der ersten Zeile lässt sich x1 berechnen, mit der zweiten x3. Für die beiden anderen gilt 0x1+0x2+0x3+0x4=0; damit  kannst du für x2 und x4 (unabhängig voneinander) beliebige Werte einsetzen, also unendlich viele Lösungen.
Gelöst wird dann durch Einführung verschiedener Parameter, z.B. r für x2 und t für x4 (r,t €R)  und Auflösung nach x3 und x1 in Abhängigkeit von r und t

Ok, es gibt eine Antwort, aber ich muss dann doch mal etwas dazu sagen - also sowohl zur Frage als auch zur Antwort.

Einigkeit besteht ja darin, dass es sich bei der Matrix um eine Koeffizientenmatrix zu einem linearen Gleichungssystem (LGS) mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten handelt.

1) Zur Fragestellung: "für x2 und x4 unendlich viele Lösungen" deutet darauf hin, dass nicht klar ist, was denn eigentlich Lösungen eines LGS sind.

Eine Lösung ist ein Tupel $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ mit rellen Werten für die vier Einträge, für das das LGS erfüllt ist. Es gibt keine einzelnen Lösungen für $x_2$ und $x_4$. Insbesondere sind die Lösungen von $x_2$ und $x_4$ nicht unabhängig von einander.

Die Fragestellung suggeriert außerdem, dass es nicht unendlich viele Lösungen für $x_1$ und $x_3$ gäbe. Das ist aber falsch, auch für diese beiden Variablen gibt es unendlich viele mögliche Werte, die wiederum von den anderen Werten abhängen.

2) Zur Antwort
Behauptung im ersten Satz lautet:  Mit der ersten Zeile lässt sich $x_1$ berechnen.

Auch das ist so nicht richtig. Die erste Zeile stellt eine Beziehung her zwischen $x_1$, $x_2$ und $x_4$. Mehr nicht. Man kann nur dann $x_1$ berechnen, wenn die anderen beiden Werte gegeben sind.

Ich weise deshalb darauf hin, weil es auch LGS gibt, die unendlich viele Lösungen haben, bei denen aber zum Beispiel $x_1$ einen festen Wert haben muss.

Die zweite Zeile ist eine Beziehung zwischen $x_3$ und $x_4$. Hier gilt entsprechendes: ob ich damit $x_3$ oder $x_4$ ausrechne, hängt davon ab, welcher der beiden Werte früher festgelegt ist.

3) Meine Antwort
- Die letzten beiden Zeilen mit $0=0$ sind immer wahr.
- Es gibt aber nur zwei Zeilen, die vier Variablen festlegen sollen.
- Diese beiden Zeilen enthalten keinen Widerspruch, weil eine Stufenform vorliegt.
Aufgrund dieses Arguments folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Damit wäre die eigentliche Frage (Wie kommt man darauf?) beantwortet.

Erweiterung auf die konkreten Einträge in den Tupeln:

- Zwei Gleichungen kann man so umstellen, dass jeweils eine Variable mit Hilfe der anderen berechnet werden kann (zwei verschiedene).
- Die anderen beiden Variablen dürfen in diesem Fall frei und unabhängig voneinander gewählt werden. Hierfür gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Die konkrete Wahl legt dann eine der unendlich vielen Lösungen fest.
- Welche Variablen wählbar sind, ist abhängig davon, wie zuvor umgestellt wurde.
Beispielsweise kann die erste Gleichung nach $x_2$ umgestellt werden und die zweite Gleichung nach $x_4$. Dann sind $x_1$ und $x_3$ frei wählbar und legen $x_2$ und $x_4$ als abhängige Variablen fest.

Bei diesem konkreten LGS kann jede Kombination von zwei Einträgen gewählt werden und legt damit die anderen beiden fest.