Lineare Algebra: Lineare Unabhängigkeit

Aufrufe: 206     Aktiv: 13.11.2023 um 21:25

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Hallo,
Hätte eine kleine Frage, ob meine Idee zu einem Satz stimmt. (Falls es falsch sein sollte, bitte keine Lösung vorgeben, nur meine Idee, wenn dann kritisieren ;) )
Wenn man zeigen soll, das wenn eine Menge C = {C1,...,Cm} von Vektoren Ci aus R^n mit i = 1,...,m, 
linear unabhängig, sodass dann auch jede echte Teilmenge von C linear unabhängig sein muss. 
Könnte ich da als Ansatz, den Widerspruchsbeweis nehmen, wo ich annehme, das eine echte Teilmenge von C linaer abhängig ist, sodass dann auch M linear unabhängig wäre. 
Also bilde ich ja eine lineare Relation von den Vektoren C1,...,Cz wobei z < m. Hierbei nehme ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, das der Koeffizient vor Cz ungleich 0 ist, sodass ich ja diesen als Linearkombination von den Vektoren C1,...,Cz-1 darstellen kann & da ja diese Vektoren aufgrund der Teilmengeneigenschaft auch in M enthalten sind, wird es diese nichttriviale Relation ja auch in M geben, was ja nun heisst, M ist linear abhängig. Das ist der Widerspruch.

Könnte ich das so begründen?

Vielen Dank im voraus.
(Kleine Anmerkung: Ich wäre Ihnen auch sehr dankbar, wenn Sie die Frage 1 Tag nachdem Sie geantwortet haben löschen :) )
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1 Antwort
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Ein indirekter Beweis ist hier eine gute Idee. Es geht um Linearkombinationen (achte auf die korrekten Begriffe). Du brauchst auch nicht einen Vektor durch andere ausdrücken.
Ang. eine Teilmenge davon mit $n$ Elementen ($n<m$) ist linear abhängig. O.B.d.A. kannst Du annehmen, dass dies die ersten Vektoren, also $C_1,...,C_n$. Dann weiter dem Widerspruch entgegen.
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.23K

 

Aber war also mein Ansatz korrekt, ausser jetzt die Stelle, mit dem falschem Begriff?   ─   user88de87 13.11.2023 um 18:26

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Der Ansatz war korrekt, die Ausführung ist etwas lückenhaft und kann vereinfacht werden.
Und warum soll die Frage später gelöscht werden (können wir sowieso nicht)?
  ─   mikn 13.11.2023 um 18:33

Also wenn es nicht gelöscht werden kann, ist es nicht schlimm, doch würde ich es ganz gut finden, wenn nicht jeder die Frage unbedingt sehen würde.   ─   user88de87 13.11.2023 um 20:21

Ich bedanke mich übrigens nochmal für Ihre Antwort, für diese Frage.   ─   user88de87 13.11.2023 um 20:22

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Mathematikaufgaben unterliegen eher selten dem Urheberrecht und eine Aufgabenstellung hast du ja nichtmal preisgegeben.   ─   cauchy 13.11.2023 um 20:43

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Gern geschehen. Unsere Spielregeln (siehe Kodex, link oben rechts) sehen vor, dass beantwortete Fragen als solche abgehakt werden (Anleitung siehe e-mail, geht auch rückwirkend für frühere Fragen ;-)).
Mach Dir keine Gedanken um die Sichtbarkeit der Frage. 1. Du bist anonym hier. 2. So speziell ist die Aufgabe nicht, die kommt überall vor, nicht nur an einer einzigen Uni. 3. Du hast ja keine Lösung hier abgegriffen, sondern Rückmeldung zu Deiner eigenen Lösung gesucht. Das zeugt von Eigeninitiative und einer guten Einstellung.
  ─   mikn 13.11.2023 um 20:44

Dankeschön :)   ─   user88de87 13.11.2023 um 21:25

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