Reihe Konvergent oder Divergent

Aufrufe: 58     Aktiv: 11.05.2022 um 00:01

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hallo
die reihe ist: summe von k=0 bis
unendlich((k^3+34k^2+7k+8)/(k^5+787k^3-3k^2-k+9))

wie lös ich das? Also das ist ja eine Nullfolge und meine Idee war jetzt das Quotienten oder das Wurzelkriterium anzuwenden, aber ich komme beim Rechnen nicht weiter. Man braucht ja zuerst den betrag, der fällt ja weg, weil die Zahlen alle positiv sind. Dann weiss ich, aber nicht wie ich umformen muss, damit ich auf den Wert komme zum überprüfen auf konvergenz
 
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Moin,
Quotienten- und Wurzelkriterium sind hier nicht unbedingt günstig, da die Rechnungen umständlich werden. Was man gut verwenden kann ist der Vergleichssatz für Reihen/Majorantenkriterium. Der Grad des Polynoms im Nenner ist um 2 höher als der im Zähler, wir können es also mit einem Polynom der Form \(\frac{1}{x^p}\) mit p>1 nach oben abschätzen. Suche dir ein geeignetes p und argumentiere mit der Konvergenz der Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{x^p}\) für p>1.
LG
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Hi, danke. Sollt ich da auch die höchste Potenz irgendwie ausklammern oder einfach nur mit der harmonischen Reihe wörtlich argumentieren?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:28

Höchste Potenz ausklammern kann man auch machen, ist aber nicht notwendig, vereinfacht auch die Rechnung nicht wirklich. Ausklammern bei Brüchen ist eigentlich nur bei Folgen praktisch, Such dir einfach, im einfachsten Fall p=1.5, einen Wert für die p-harmonische Reihe, die größer ist als dein Bruch. Die Ungleichung muss man natürlich noch begründen, z.B. mit Induktion.   ─   fix 10.05.2022 um 23:32

Also wäre es am sinnvollsten zu beweisen, dass zb (der Bruch) <= 1/k^2 gilt(per Induktion)? Beim Induktionsanfang hätte man aber ein Problem, oder? Weil für k=0 würde man durch 0 teilen   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:54

Der Summand ist nicht <1/k^2, sondern (was man durch Abschätzen sieht), so ähnlich. Induktion ist dazu auch nicht nötig. Genereller Tipp: Zwei Aufgaben parallel lösen ist nicht so sinnvoll. Mach mal eine sauber fertig, danach die nächste.   ─   mikn 11.05.2022 um 00:01

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