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Moin,
Quotienten- und Wurzelkriterium sind hier nicht unbedingt günstig, da die Rechnungen umständlich werden. Was man gut verwenden kann ist der Vergleichssatz für Reihen/Majorantenkriterium. Der Grad des Polynoms im Nenner ist um 2 höher als der im Zähler, wir können es also mit einem Polynom der Form \(\frac{1}{x^p}\) mit p>1 nach oben abschätzen. Suche dir ein geeignetes p und argumentiere mit der Konvergenz der Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{x^p}\) für p>1.
LG
Quotienten- und Wurzelkriterium sind hier nicht unbedingt günstig, da die Rechnungen umständlich werden. Was man gut verwenden kann ist der Vergleichssatz für Reihen/Majorantenkriterium. Der Grad des Polynoms im Nenner ist um 2 höher als der im Zähler, wir können es also mit einem Polynom der Form \(\frac{1}{x^p}\) mit p>1 nach oben abschätzen. Suche dir ein geeignetes p und argumentiere mit der Konvergenz der Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{x^p}\) für p>1.
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fix
Student, Punkte: 2.85K
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Hi, danke. Sollt ich da auch die höchste Potenz irgendwie ausklammern oder einfach nur mit der harmonischen Reihe wörtlich argumentieren?
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nutzer123
10.05.2022 um 23:28
Höchste Potenz ausklammern kann man auch machen, ist aber nicht notwendig, vereinfacht auch die Rechnung nicht wirklich. Ausklammern bei Brüchen ist eigentlich nur bei Folgen praktisch, Such dir einfach, im einfachsten Fall p=1.5, einen Wert für die p-harmonische Reihe, die größer ist als dein Bruch. Die Ungleichung muss man natürlich noch begründen, z.B. mit Induktion.
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fix
10.05.2022 um 23:32
Also wäre es am sinnvollsten zu beweisen, dass zb (der Bruch) <= 1/k^2 gilt(per Induktion)? Beim Induktionsanfang hätte man aber ein Problem, oder? Weil für k=0 würde man durch 0 teilen
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nutzer123
10.05.2022 um 23:54