Direkt in Polarkoordianaten parametrisieren?

Aufrufe: 55     Aktiv: 11.08.2021 um 16:31

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Hallo liebe Mathematik freunde!
Ich sitze hier an einer Aufgabe und wollte mal versuchen, das Oberflächenintegral anders als in der Lösung zu Berechnen. In der Lösung wurde zuerst kartesisch und dann erst in Polarkoordinaten substituiert. Wenn ich es jetzt direkt von Anfang an in Polarkoordinaten parametrisieren möchte, wie sieht diese dann aus?


Die Rotation findet um die X-Achse statt.
Meine Parametrisierung wäre, da y^2+z^2 = r^2 sind

P = (r^2, rcos(phi), rsin(phi)) mit 0<=r<=2 und 0<=phi<=2pi

ist dieses schonmal richtig ?

Habe es dann partiell nach r und Phi differenziert, mein Normalvektor gebildet und den Betrag davon genommen.

Da es ein Oberflächenintegral erster Art ist, steht im Doppelintegral mit den Oben aufgeführten Grenzen 1*|n| drdphi

Das Ergebnis ist leider Falsch.

Vermutlich ist meine Parametrisierung nicht richtig, aber ich verstehe nicht ganz warum? Hab wohl etwas noch nicht ganz verstanden :/

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

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Wie sieht denn dein Normalenvektor aus? Am besten lädst du auch ein Bild deiner Rechnung hoch. Die Parametrisierung sieht soweit gut aus.   ─   cauchy 11.08.2021 um 15:21

Beim Schön aufschreiben hab ich meinen Fehler gefunden :) Danke!
  ─   user383f24 11.08.2021 um 16:09
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Damit hier dennoch eine Antwort steht: die Parametrisierung stimmt. Der Normalenvektor ist $$\vec{n} =\begin{pmatrix} r \\ - 2r^2 \cos(\varphi) \\ - 2r^2 \sin(\varphi) \end{pmatrix} $$ und das Flächenelement ergibt sich als $$\mathrm{d}A = r \sqrt{1+4r^2}.$$
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