Es geht auch ohne höhere Algebra.
Schreibe die linke Seite mit dem Summenzeichen. Beachte dabei $A^0=I_n$.
(Achtung: ab hier etwas editiert).
Dann denke an die geometrische Summenformel, die gilt für Matrizen auch.
Man muss nur anstelle der 1 dann $I_n$ schreiben und was im Nenner steht als $...^{-1}$.
Wir wollen aber dieses $(...)^{-1}$ vermeiden. Daher gehen wir nun so nach Umschreiben mit dem Summenzeichen vor:
Multipliziere beide Seiten mit $(I_n-A)$ (Nenner der geom. Summenformel). Dann steht auf der linken Seite, nach Ausmultiplizieren, der Zähler der geom. Summenformel
Bringe $I_n$ alleine auf eine Seite und klammere auf der anderen $A$ aus. Dann kannst Du $A^{-1}$ direkt ablesen.
Arbeite diese Anleitung schrittweise genau durch.

Ja man sieht hier, dass \(f=X^3+X^2+X+1\) im Ideal von Minimalpolynom ist. Es hat also alle Nullstellen, die auch das Minimalpolynom hat. Was weißt du über die Nullstellen vom Minimalpolynom?

Bring alles außer die Einheitsmatrix auf die andere Seite und klammere ein $A$ aus. Die Inverse steht dann direkt da.