Noch eine Frage zur Matrizenrechnung

Aufrufe: 128     Aktiv: 12.04.2022 um 22:30

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Sei A eMn(R) eine Matrix, die

A^3 + A^2 + A + In = 0  erfüllt. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und bestimmen Sie die Inverse A^-1 zu A. Hier scheint das rückwerts zu gehen, aber wie?
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 122

 
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3 Antworten
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Es geht auch ohne höhere Algebra.
Schreibe die linke Seite mit dem Summenzeichen. Beachte dabei $A^0=I_n$.
(Achtung: ab hier etwas editiert).
Dann denke an die geometrische Summenformel, die gilt für Matrizen auch.
Man muss nur anstelle der 1 dann $I_n$ schreiben und was im Nenner steht als $...^{-1}$.
Wir wollen aber dieses $(...)^{-1}$ vermeiden. Daher gehen wir nun so nach Umschreiben mit dem Summenzeichen vor:
Multipliziere beide Seiten mit $(I_n-A)$ (Nenner der geom. Summenformel). Dann steht auf der linken Seite, nach Ausmultiplizieren, der Zähler der geom. Summenformel
Bringe $I_n$ alleine auf eine Seite und klammere auf der anderen $A$ aus. Dann kannst Du $A^{-1}$ direkt ablesen.
Arbeite diese Anleitung schrittweise genau durch.
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Lehrer/Professor, Punkte: 24.03K

 

Warte nochmal, da stimmt in meiner Anleitung was nicht...
Achtung: Ich korrigiere die Anleitung, geht noch einfacher..
  ─   mikn 12.04.2022 um 22:16

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Ja man sieht hier, dass \(f=X^3+X^2+X+1\) im Ideal von Minimalpolynom ist. Es hat also alle Nullstellen, die auch das Minimalpolynom hat. Was weißt du über die Nullstellen vom Minimalpolynom?
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Student, Punkte: 8.17K

 

Aktuell weiß ich darüber nichts mehr.   ─   atideva 12.04.2022 um 20:18

Dann such mal in deinen Unterlagen nach dem Satz von Cayley-Hamilton   ─   mathejean 12.04.2022 um 20:24

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Bring alles außer die Einheitsmatrix auf die andere Seite und klammere ein $A$ aus. Die Inverse steht dann direkt da.
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Selbstständig, Punkte: 22.27K

 

Ja, rechne mal diesen einfachen Weg und den, ein wenig (aber nicht viel) komplizierteren Weg aus meiner Antwort. Gibt das gleiche Ergebnis, aber anders ausgedrückt. Daher sehr aufschlussreich, wenn man was lernen will.   ─   mikn 12.04.2022 um 22:29

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