Wohldefiniertheit im mehrdimensionalen Integral

Aufrufe: 74     Aktiv: 17.06.2022 um 22:36

0
Ich habe hier die Funktion \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$g(x, y):=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\
0 & ,(x, y)=(0,0)
\end{array}\right.$$

und folgende Ausdrücke:

\(f(y):=\int \limits_{0}^{1} g(x, y) \mathrm{d} x\)

\(f^{*}(y):=\int \limits_{0}^{1} \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) \mathrm{d} x\)

Ich soll zeigen, dass $f(y)$ und $f^{*}(y)$ wohldefinierte Ausdrücke sind. Wohldefiniertheit als solche ist mir ein Begriff. Ich denke mal es geht darum zu zeigen, dass die Ausdrücke unabhängig von der Wahl des $y$ definiert sind, aber ich weiß um ehrlich zu sein nicht so recht, was ich da "mathematisch" zeigen/berechnen soll.
Kann mir ja jemand weiterhelfen?
LG
gefragt

Punkte: 25

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Da werden Integrale verwendet, das darf man aber erst, wenn klar ist, dass das Integral existiert. Also dass die zu integrierende Funktion auf dem gefragten Intervall, also [0,1], integrierbar ist.
Das muss geprüft werden, andere Probleme treten bei der Definition der beiden Funktionen nicht auf.
Übrigens: mehrdimensionale Integrale gibt's hier nicht, das ist ein ganz normales 1d-Integral.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 25.45K

 

Ich würde das mal exemplarisch für $f$ machen:
Sei $y \neq 0$: $f(y)=\int \limits_{0}^{1}\frac{xy^3}{(x^2+y^2)^2}dx= \frac{y}{2(1+y^2)}$
Sei $y = 0$: $f(0)=\int \limits_{0}^{1}g(x,0)dx =0$

$\Rightarrow$ f ist auf $[0,1]$ wohldefiniert

  ─   chrsitian3ril 17.06.2022 um 21:33

Hast Du meine Antwort gelesen? Da hab ich doch erklärt, worum es geht.   ─   mikn 17.06.2022 um 22:36

Kommentar schreiben