Graphische Darstellung Komplexer zahlen

Aufrufe: 34     Aktiv: 17.02.2021 um 19:21

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Moin,

Kann man Komplexe zahlen auch anders graphisch darstellen als in der Gaußschen Zahlen Ebene? Und gehört die Darstellung anhand des Einheitskreises zur Gaußschen Zahlen Ebene? 

Dankeee
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2 Antworten
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Du kannst eine komplexe Zahl \(a+bi\) graphisch darstellen als
  • Punkt \((a,b)\) in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Das hat nützliche Eigenschaften wie die, dass Addition und Multiplikation einfache geometrische Interpretationen haben.
  • Punkt \((r,\varphi)\) im zweidimensionalen Koordinatensystem, wobei \(re^{i\varphi}=a+bi\). Das ist zwar noch relativ einfach, aber nicht sehr hilfreich.
  • Restklasse \(aX+b+\langle X^2+1\rangle\) im Polynomring \(\mathbb R[X]/\langle X^2+1\rangle\). Nicht einfach darzustellen, nur in der Theorie nützlich.
  • Homomorphismus \(\mathbb R^2\to\mathbb R^2,v\mapsto\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}x\). Wie der vorige Punkt.
Und so weiter. Ich will darauf hinaus, dass es viele Möglichkeiten gibt, aber die komplexe Zahlenebene ist bei weitem die einfachste und hilfreichste zum verstehen.
Ich weiß nicht genau, was du mit "Darstellung anhand des Einheitskreises" meinst, aber der Einheitskreis ist Teil der komplexen Zahlenebene, also gehört das vermutlich dazu.
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Huhu, das ist schon die gängigste Darstellung, weil sie sich ja aus der Darstellung \( a=z+i\cdot b \) ablesen lässt und auch viele Rechenoperationen sinnvoll in dieser Form abgelesen werden können.
Wenn du einfach nur einen Einheitskreis hast und das Argument abträgst ist das gewissermaßen auch im komplexen Koordinatensystem! Außer du bildest wirklich Winkel und Betrag als Größen ab, dies ist etwas unüblich, wäre aber eine Darstellungsmöglichkeit. 

Etwas komplizierter, aber für einige Betrachtungen durchaus sinnvoll ist die Riemannsche Zahlenkugel. Dabei werden alle komplexen Zahlen und zusätzlich der Wert \( \infty \) auf eine Sphäre projiziert. Alle Werte Innerhalb des Einheitskreises landen auf der nördlichen/oberen Kugelhälfte und die Außerhalb unten (diese Unterscheidung kann theoretisch auch umgedreht getroffen werden, das ist verschieden üblich). Dann entsprechend die Null am Nordpol und der unendlich ferne Punkt am Südpol (oder umgekehrt). 

Viele Grüße, jojoliese
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Ahh ja, die Matrizen sollte man auch vielleicht noch erwähnen, wie es die andere Antwort tut! Das ist zwar nicht wirklich graphisch, aber oft sehr nützlich!
Ich denke mit beiden Antworten hast du eine ordentliche Sammlung :))
  ─   jojoliese 17.02.2021 um 19:15

Noch ein Kommentar: für komplexe Funktionen, die allgemein ja mindestens 4 interessante Dimensionen haben \( z=a+i\cdot b \) bildet ab auf \( u=c+i \cdot d\), gibt es noch ganz andere Darstellungen. Zum Beispiel mit Farben, Niveaulinien, etc. Damit man eine Vorstellung dieses komplizierten Zusammenhangs im 2- oder 3-dimenionalen haben kann   ─   jojoliese 17.02.2021 um 19:21

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