Wie erkenne ich Krümmungsverhalten richtig?

Aufrufe: 44     Aktiv: 30.04.2021 um 11:24

0
Es gibt irgendwie zwei Definitionen von Konvexität und Konkavität bzw. streng konkav/konvex oder konkav und konvex oder weder konkav noch konvex.
Man erkennt Krümmungsverhalten entweder anhand des Graphen (also die Definition mit konvexe Funktion = Epigraph konvexe Menge) oder man bildet die zweite Ableitung. Aber diese zwei Definitonen widersprechen sich irgendwie, finde ich.

Schaut man sich f(x)= | x |, dann kann man ja sagen, dass die Funktion konvex ist, aber nicht streng konvex, weil die Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten im Epigraph entweder oberhalb des Graphen liegt oder mit dem Graphen zusammenfällt. 
Wenn mann sich aber die zweite Ableitung der Funktion anschaut, dann ist die zweite Ableitung immer 0, weil f(x) = | x | hat ja quasi den gleichen Graphen wie eine zusammengesetzte Funktion von x und -x. 

Also anhand des Graphen kann man sagen, dass es konvex ist, aber da die zweite Ableitung immer 0 ist, kann man ja auch sagen, dass f (x) sowohl konvex und als auch konkav ist. Andere Funktionen wie f(x)=2x oder f (x) = 5 haben ja auch f''(x)=0. Also wenn ich mir die zweite Ableitung von f (x) = | x | als Graphen anschaue könnte ich ja auch sagen,dass f (x) = | x | konvex und konkav ist, wie alle anderen Funktionen, nur gerade Linien im als Graphen haben?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 66

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
Das Problem ist, dass die Regel mit der zweiten Ableitung nur dann gültig ist, wenn die Funktion auch zweimal differenzierbar ist. \(|x|\) ist bei \(x=0\) nicht differenzierbar, die erste Ableitung ist gar nicht auf ganz \(\mathbb R\) definiert. (Dann kann es natürlich auch keine zweite Ableitung geben.) Folglich kannst du das nicht anwenden. Für zweimal differenzierbare Funktionen wie Polynome passt aber alles
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 7.97K
 

Achhhh, ok. Danke! Das ist hilfreich, aber was wäre dann mit f(x)= x^3 im Definitionsbereich R?
f''(x) wäre ja 3, also könnte man sagen, das x^3 streng konvex ist, aber wenn man die Funktion f(x)=x^3 im Definitionsbereich R betrachtet, dann ist der Graph ja weder konvex noch konkav, weil man zwei Punkte im Hypograph findet, die nicht komplett unterhalb des Graphen liegen und andersrum im Epigraph auch.
  ─   itsmeagain 29.04.2021 um 17:52

Und f (x) = | x | ist konvex, aber nicht streng konvex richtig? Nur das kann man nicht anhand der 2. Ableitung bestimmen, da es die 2. Ableitung gar nicht gibt?   ─   itsmeagain 29.04.2021 um 17:54

Bei \(f(x)=x^3\) ist \(f''(x)=6x\), was positiv für \(x>0\) und negativ für \(x<0\) ist. Ich weiß nicht, wie du auf \(f''(x)=3\) kommst.
Deine Aussagen über \(|x|\) stimmen alle.
  ─   stal 30.04.2021 um 11:24

Kommentar schreiben