Definition: Wenn für eine reelle Potenzreihe \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}}(x-x_{0})^n \) mit Konvergenzradius r > 0 und Entwicklungspunkt \(x_{0}\) \(\in\) \(\mathbb{R}\) gilt, dass für \(\tilde{x}\) \(\in\) \(\mathbb{R}\) mit |\(\tilde{x}\) - \(x_{0}\)| = r die Reihe (\(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}}\)(\(\tilde{x}\) - \(x_{0})\)\(^n\)) konvergiert, so ist lim x \(\to\) \(\tilde{x}\)  \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}}(x-x_{0})^n \) = \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}}\)(\(\tilde{x}\) - \(x_{0})\)\(^n\)

Im Beweis wird jetzt folgendes definiert: \(s_{j}\) =  \(\sum_{n=0}^{j} \ {a_{n}} \) und s =  \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}} \) sowie die Funktion f : (-1,1) \(\to\) \(\mathbb{R}\) mit f(x)= \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {a_{n}}x^n \). Man nimmt auch o.B.d.A an, dass r = 1 und \(\tilde{x}\) = 1 ist. Gesucht ist nun eine Darstellung der Differenz s - f(x), die eine Abschätzung gegenüber der Differenz |1-x| erlaubt. 

Meine Frage ist, warum ist genau das gesucht und warum würde das den Satz beweisen? Der Beweis endet dann quasi mit " |s - f(x)| \(\le\) \(\delta\)  \(\sum_{n=0}^{\infty} \ {|s-s_{n}|}\) + \(\frac {\epsilon} {2}\) = \(\epsilon\) und wir haben die stetige Fortsetbarkeit im Grenzfall x \(\to\) 1 gezeigt".

P.S Ich kann auch gerne Fotos des Beweises hochladen, wenn es so nicht klar ist was ich meine. Vielleicht habe ich auch irgendwas zur Stetigkeit nicht verstanden, sonst wüsste ich vielleicht warum das den Satz beweisen soll. Keine Ahnung,

P.P.S Ich habe leider nicht rausbekommen, wie ich ein limes hier mit LaTeX eingebe.