Wie bildet man die Ableitung?

Aufrufe: 116     Aktiv: 12.03.2021 um 15:47

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Wie bildet man die Ableitung von  f(x)= e2x /x   (soll ein Bruch mit e oben und x unten sein)?
Haben die Ableitung nie in so komplizierten Fällen gemacht und ich frag mich jetzt auch, ob ich das für das Mathe Abi in NRW überhaupt können muss. Hatte mir eine alte Matheabiklausur aus Bayern angeschaut und da gab es eben so eine Funktion. Also fall wer weiß, ob das für mich überhaupt relevant ist, wäre das auch gut zu wissen.
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Du hast ja schon erkannt, dass sich \( f \) als Bruch von zwei Funktionen schreiben lässt, nämlich \( g(x) = e^{2x} \) im Zähler und \( h(x) = x \) im Nenner. Wie man so eine Funktion nun ableitet, sagt uns die Quotientenregel. Es gilt
\( f^\prime(x) = \frac{g^\prime(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2} = \frac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2} = \frac{(2x-1)e^{2x}}{x^2} \)
Alternativ kann man die Funktion auch mithilfe von Potenzgesetzen umschreiben zu \( f(x) = e^{2x} \cdot x^{-1} \). Dann kann man die Funktion mit der Produktregel ableiten und kommt dann natürlich zum gleichen Ergebnis.
So oder so, die Aufgabe sollte für einen Abiturienten (egal, aus welchem Bundesland) eigentlich machbar sein, also würde ich schon sagen, dass solche Aufgaben für dich relevant sind. Hoffentlich hast du jetzt aber auch gesehen, dass die Lösung gar nicht so schwer ist.
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Vielen Dank! Diese Quotientenregel hatten wir nie, deswegen finde ich das ein bisschen komisch. Aber die Formel kann man ja einfach auswendig lernen. Oder ich wiederhole mal die Potenzgesetze...   ─   ally.t 10.03.2021 um 21:06

Sehr gerne :)
Wenn du die Quotientenregel nicht kennst, ist das nicht so schlimm. Sie ist eigentlich nur eine Folgerung aus der Produkt- und der Kettenregel, die man mithilfe der Potenzgesetze herleiten kann. Es reicht also, wenn du diese Regeln kennst. Dann musst du zum Ableiten einen Bruch \( \frac{g(x)}{h(x)} \) einfach immer in das Produkt \( g(x) \cdot (h(x))^{-1} \) umschreiben.
  ─   anonym 10.03.2021 um 22:44

Bayern hat grundsätzlich ein höheres Niveau als NRW. Für NRW sind nur Funktionen der Form \(p(x)\mathrm{e}^{ax+b}\) mit \(p(x)\) als Polynom höchstens zweiten Grades relevant.   ─   cauchy 11.03.2021 um 01:28

Also brauch ich solche Funktionen gar nicht ableiten können? Also Potenzgesetze werde ich mir noch mal anschauen, aber dann brauch ich diese Quotientenregel ja nicht.   ─   ally.t 12.03.2021 um 10:24

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Ich habe jetzt mal in die NRW-Abiturvorgaben für 2021 reingeschaut. Für den Grundkurs ist es so wie cauchy es gesagt hat. Für den Leistungskurs steht dort allerdings: "Behandlung von ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktion (...) und deren Verknüpfungen bzw. Verkettungen". Das kann man jetzt auf unterschiedliche Arten interpretieren. Ich sehe das folgendermaßen: \( e^{2x} \) ist eine Verkettung der Exponentialfunktion und der ganzrationalen Funktion \( 2x \). Der Quotient \( \frac{e^{2x}}{x} \) ist nun eine Verknüpfung dieser Funktion mit der ganzrationalen Funktion \( x \). Demnach sollten (meiner Auffassung nach) solche Funktionen für den Leistungskurs relevant sein.
Trotzdem brauchst du deshalb nicht extra die Quotientenregel zu lernen - schon gar nicht, wenn ihr die im Unterricht gar nicht hattet. Einen Quotienten kann man immer in ein Produkt umschreiben und dann mit der Produkt- und Kettenregel ableiten.
Abschließend sollte man vielleicht noch sagen, dass du dich deswegen nicht zu sehr stressen solltest. Ich halte es eher für unwahrscheinlich, dass so eine Funktion drankommt.
  ─   anonym 12.03.2021 um 14:50

Orientiere dich beim Lernen am besten an den alten Klausuren von NRW und weniger an denen aus anderen Bundesländern. Wünsche dir viel Erfolg :)   ─   anonym 12.03.2021 um 14:53

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Hallo :-)

Wichtig: In vielen Bundesländern wird die Quotientenregel gar nicht mehr gelehrt. Zum Bsp. auch in NRW!

Dann schreibe dir den Bruch einfach als Produkt:

\( f(x) = \frac{1}{x} \cdot e^{2x} \)

Den Ausdruck kannst du natürlich leicht mit der Produktregel ableiten. Dazu musst du nur wissen, dass
die Ableitung von \( \frac{1}{x} \) gleich \(  - \frac{1}{x^2} \) ist.
Und von \( e^{2x} \) gleich \(  2 \cdot e^{2x} \)

Also einfach: \( f(x)' = u' \cdot v + u \cdot v' \) ... fertig.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
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