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Gruppenhomomorphismus wurde schon nachgewiesen und die Bijektivität wurde so:

nachgewiesen, ich habe das mal als Latexform abgetippt.

Nun ist aber das Problem, mir hat eben einer gesagt, es genügt nicht eifnach die Umkehrfunktion zu nehmen und zu sagen, dass es Bijektiv ist und es reicht auch nicht, wenn ich zeige, wie hier, das f o f^-1 = id ist, aber genau das hat der Dozent gemacht, warum hat das hier gereicht, um die Bijektivität nachzuweisen?
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Der Beweis ist aus meiner Sicht vollkommen in Ordnung. Du hast gezeigt, dass $\phi_{g^{-1}}$ eine Umkehrabbildung ist und damit ist $\phi_g$ bijektiv. Den zweiten Teil solltest du aber entsprechend ausführlich ausformulieren und natürlich vorher die Funktion $\phi_{g^{-1}}$ angeben.
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Der Dozent hat eben nicht nur $f\circ f^{-1}=Id_G$ gezeigt, schau mal genauer hin. Er hat auch gezeigt, dass $f^{-1}\circ f=Id_G$. Das erste bedeutet surjektiv, das zweite injektiv. Und es ist wichtig, dass es $Id$ auf $G$ ist.
Besser wäre es, wenn man zuerst $\phi^{-1}$ definiert und dann diese Eigenschaften nachweist. Wie der Dozent es gemacht hat ist der Weg, wie man darauf kommt, dass die Umkehrabbildung so aussieht (rumrechnen und dann aha, so klappt es). Aufschreiben tut man es dann nachher aber meist andersrum.
  ─   mikn 28.11.2022 um 12:58

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